Квадратный корень из нормального оператора

[id]

Пусть $N$ - нормальный оператор (действующий в гильбертовом пространстве). Показать, что существует нормальный оператор $M$ такой, что $M^2 = N$ и $M = \phi(N)$ для некоторой ограниченной борелевской функции $\phi$, определенной на $\sigma(N)$.

Соображения:
Известно, что если $N$ - нормальный оператор на гильбертовом пространстве $\mathcal H$ со спектральной мерой $E$, то отображение $\rho: B(\sigma(N)) \to B(\mathcal H)$, определяемое как $\phi \to \int \phi(z) dE(z)$ есть представление $C^*$-алгебры $B(\sigma(N))$; при этом разумеется $N = \int z dE(z)$.

Если теперь определить на $\sigma(N) \subset \mathbb C$ борелевскую функцию $\phi(z): \phi^2(z) = z$ (аргумент комплексного числа $\in [0,2 \pi) $ делим пополам, из модуля берем корень; разрыв по положительному направлению действительной оси), и проинтегрировать $\phi$ по спектральной мере, получится $M$ (заведомо нормальный). В силу того, что $\rho$ - представление, $M^2 = (\phi(N))^2 = \phi^2(N) = \int \phi^2(z) dE(z) = \int z dE(z) = N$, и задача решена?