Доказательство формулы (логарифм через предел суммы...)

[NNDeaz]

Недавно столкнулся с формулой

$$\ln x = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{x - 1}}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\frac{1}{{(1 + k\frac{{x - 1}}{n})}}} $$

Ее нужно доказать. А я даже незнаю откуда начать. Подскажите. Заранее спасибо.

[ewert]

NNDeaz в сообщении #400341 писал(а):

А я даже незнаю откуда начать.

Сведите эту сумму к интегральной, обозначив $\dfrac{k}{n}\equiv t_k$.

[NNDeaz]

А по другому никак?

[Gortaur]

Попробуйте возвести е в эту степень - может получится икс в пределе, но вообще через интеграл самое явное и простое.

-- Сб янв 15, 2011 16:31:12 --

А лучше сделайте замену $y=x+1$ и может вылезет замечательный предел когда экспоненту в эту степень возведете

[NNDeaz]

Все-таки понял, что это равенство следует из формулы

$$f(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{x - {f^{ - 1}}(0)}}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {f'({f^{ - 1}}(0) + k\frac{{x - {f^{ - 1}}(0)}}{n})} $$

Кстати эту формулу можно еще упростить?
Я следовал из того, что

$$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to \infty } \Delta x(f(x + \frac{1}{{\Delta x}}) - f(x))$$

Подставим в первое равенство и в итоге получим:

$$f(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (x - {f^{ - 1}}(0))\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {f({f^{ - 1}}(0) + \frac{{k(x - {f^{ - 1}}(0)) + 1}}{n})} - f({f^{ - 1}}(0) + k\frac{{x - {f^{ - 1}}(0)}}{n})$$

Правильная ли формула получилась?

[ewert]

NNDeaz в сообщении #400810 писал(а):

Все-таки понял, что это равенство следует из формулы

$$f(x) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{x - {f^{ - 1}}(0)}}{n}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {f'({f^{ - 1}}(0) + k\frac{{x - {f^{ - 1}}(0)}}{n})} $$

Кстати эту формулу можно еще упростить?

Жуть какая-то. "Всех формул не напишешь, сын мой, и много формул читать -- утомительно для тела" $\copyright$ Екклесиаст. Конкретно эта задачка -- безусловно, на интегральные суммы, и так к ней и надо относиться, а не морочить себя неведомо чем. Тем паче, что в любом разумном курсе анализа ряды идут после определённых интегралов.