Оценить повторный интеграл

[Gortaur]

Есть такая штука

$$ D_n(x) = I_{A^c}(x)\int\limits_A...\int\limits_A\phi(x,y_1)\phi(y_1,y_2)...\phi(y_{n-1},y_n)\,dy_1...dy_n, $$

интегралов там $n$. При это функция $\phi$ такова, что

$$ \int\limits_E\phi(x,y)\,dy = 1 $$

для всех $x\in E$. И $A\subset E$. Если $A\neq E$ у меня такое чувство, что $D_n$ можно оценить степенным рядом, но вот как это сделать - не знаю, не подскажите?

-- Пт янв 14, 2011 21:08:29 --

Я имею ввиду, если

$$ \int\limits_A\phi(x,y)\,dy \leq c<1 $$

для всех $x$.

[Dan B-Yallay]

Что такое $I_{A^c}(x)$, на который Вы умножаете интеграл?

[Gortaur]

Индикатор дополнения ко множеству $A$.

[Dan B-Yallay]

$$I_{A^c}(x)=\begin{cases} 1, x \notin A\\ 0, x \in A \end{cases}$$

Tak?

[Gortaur]

Угу

-- Пт янв 14, 2011 21:35:06 --

У меня получилось при данных условиях по-моему, прошу проверить.

Вообще,

$$ D_n(x) = I_{A^c}(x)\int\limits_E D_{n-1}(y)\phi(x,y)dy $$

и

$$ D_1(x) = I_{A^c}(x)\int\limits_A\phi(x,y)\,dy. $$

Допустим

$$ 0<a\leq \int\limits_A \phi(x,y)\,dy\leq b<1 $$

для всех $x\in E$. Тогда

$$ 0<(1-b)\leq \int\limits_{A^c} \phi(x,y)\,dy\leq (1-a)<1 $$

так как

$$ \int\limits_{E}\phi(x,y)\,dy = 1. $$

Тогда

$$ D_2(x) = I_{A^c}(x)\int\limits_E D_1(y)\phi(x,y)dy\leq I_{A^c}(x)\int\limits_E bI_{A^c}(y)\phi(x,y)dy\leq (1-a)b I_{A^c}(x). $$

И

$$ D_n(x)\leq b(1-a)^{n-1}I_{A^c}(x) $$