Топология Зариского. Вещественная прямая

[Lazy]

Здравствуйте, я снова со своими тараканами...

Задача: Пусть $X = \mathbb{R}$, а $\Omega$ состоит из пустого множества и дополнений всевозможных конечных подмножеств прямой $\mathbb{R}$. Является ли $\Omega$ топологией?

Я бы ответил - нет. Но в решении указано, что является. Более того, носит даже специальное название "топологии Зариского"...

Тут мне несколько неясно:
а) имеются ли в виду "дополнения конечных подмножеств прямой" или "всевозможные конечные подмножества прямой"?

б) дополнение конечного подмножества в $\mathbb{R}$ - бесконечно? Или я что-то не так понимаю?

в) утверждая, что $\Omega$ - топология мне не удается даже доказать первой аксиомы! Не могу понять как бесконечное объединение всевозможных конечных подмножеств в $\mathbb{R}$ может быть конечным? Конечное объединение конечных множеств - понимаю... Но тут не тот случай, или я не прав?

г) была задача, в которой нужно было в $\mathbb{R}$ привести пример пересечения двух бесконечных множеств, которое является конечным. Я привел такой: $(-\infty; a] \cap [a; +\infty) = \left{ a \right}$ (в смысле точки, или одноэлементного множества, как угодно). Непонятно, однако, является ли примером следующий вариант: $(-\infty; 1) \cap (-1; +\infty) = (-1; 1)$? Насколько я понимаю, любой сколь угодно малый интервал в $\mathbb{R}$ - бесконечное множество!

Проясните, пожалуйста, ситуацию!

[MaximVD]

a) имеются в виду "дополнение конечных подмножеств прямой", т.е. множества вида $\mathbb{R} \backslash \{ a_1,\ldots, a_n \}$, где $a_1,\ldots, a_n$ некоторые точки на прямой - "то самое конечное множество".
б) да, верно
в) Вы пытаетесь доказать не совсем то, что нужно. Нужно доказать, что объединение любого количества множеств, каждое из которых является дополнением некоторого конечного подмножества в $\mathbb{R}$, будет являться дополнением некоторого конечного множества.
г)Ваш первый пример верный. Второй вариант не является требуемым примером, поскольку, как Вы указали, любой сколь угодно малый интервал - бесконечное множество.

[Joker_vD]

Lazy в сообщении #399574 писал(а):

Не могу понять как бесконечное объединение всевозможных конечных подмножеств в $\mathbb R$ может быть конечным?

Так вам же надо показывать, что бесконечное пересечение конечных подмножеств конечно.

[Lazy]

MaximVD, большое спасибо! Утром высплюсь и буду осознавать

Joker_vD, здесь Вы не правы.
Первая аксиома требует, чтобы любое объединение подмножеств принадлежало топологии.
Вторая аксиома требует, чтобы любое конечное пересечение подмножеств принадлежало топологии.
Третья аксиома требует, чтобы пустое множество и само множество, на котором определяется топологическая структура, принадлежало топологии.

[Виктор Викторов]

Joker_vD в сообщении #399613 писал(а):

Lazy в сообщении #399574 писал(а):

Не могу понять как бесконечное объединение всевозможных конечных подмножеств в $\mathbb R$ может быть конечным?

Так вам же надо показывать, что бесконечное пересечение конечных подмножеств конечно.

Lazy в сообщении #399672 писал(а):

Joker_vD, здесь Вы не правы.
Первая аксиома требует, чтобы любое объединение подмножеств принадлежало топологии.

Joker_vD прав. Бесконечное объединение множеств, являющихся дополнениями до $ \mathbb{R}$ конечных множеств есть множество, имеющее конечное дополнение. А по формулам де Моргана бесконечное пересечение самих конечных дополнений конечно или пусто.

[Joker_vD]

Вообще топологию Зариского всегда лучше вводить через замкнутые множества:

Назовем замкнутыми множествами $\varnothing$, $\mathbb R$ и все конечные подмножества $\mathbb R$. Открытым множеством будем называть множество, являющееся дополнением к какому-то замкнутому множеству.

Такая система замкнутых множеств действительно задает топологию, если:
1) Любое пересечение замкнутых множеств замкнуто.
2) Любое конечное объединение замкнутых множеств замкнуто.

Или, двойственно для открытых:
1) Любое объединение открытых множеств открыто.
2) Любое конечное пересечение открытых множеств открыто.

[MaximVD]

(Оффтоп)

Вообще-то, фамилия Зарисский пишется с двумя "с".

[Joker_vD]

(Оффтоп)

MaximVD
Еще же подумал — "а не с двумя ли?", глянул на заголовок с мыслью "топикстертер же с книги спечатывал" и увидел одну "с"...

[wolf.ram]

Почему в этом учебнике не могли написать "ограниченное подмножество" вместо "конечное"? Когда говорят о конечном/бесконечном множестве то первое, что приходит на ум это мощность множества.

[alcoholist]

wolf.ram


а при чем тут ограниченность?? Метрики же нет:)

[wolf.ram]

alcoholist
Т.е. конечные множества в данном случае это всё-таки множества с мощностью < $\aleph_0$?

[alcoholist]

wolf.ram в сообщении #539011 писал(а):

Т.е. конечные множества в данном случае это всё-таки множества с мощностью < $\aleph_0$?

конечные множества -- это такие множества мощность которых конечна (= содержат конечное количество элементов)

-- Ср фев 15, 2012 23:27:14 --

wolf.ram в сообщении #539011 писал(а):

в данном случае

в любом случае

[wolf.ram]

Ну я так сразу и подумал. Только потом что-то меня сомнение взяло, может это об отрезках речь идёт. Но оказалось, что перавая мысль была правильной.