Состоятельность оценок

[dampir_sanek]

Здраствуйте, помогите решить пожалуйста. Мат. статистика
Если $E\hat{\theta} = \theta$ и $D\hat{\theta}\!\to\!0$ при $n\to\infty$
то $\hat{\theta}$ - состоятельная оценка. Необходимо это доказать.

[Хорхе]

Должно быть так: $D\hat \theta \to 0$. Неравенство Чебышева.

[dampir_sanek]

Хорхе
исправил, не подскажете в какой книге псмотреть доказательство? Пойду погуглю.

[Хорхе]

Исправили, да не до конца. К нолику стремится дисперсия. А дальше неравенство Чебышева. Нагуглите, если Вам это название ничего не говорит.

[dampir_sanek]

Вот что надумал.
Определение состоятельной оценки: Оценка $\hat{\gamma}$ называется состоятельной, если $P\{\left|\hat{\gamma}_n - \gamma\right|\leq\epsilon\} \to 1$
Нам известно что
Условие 1: $E\hat{\theta}=\theta$
Условие 2: $D\hat{\theta}\to\!0$.
Следствие из неравенства Чебышева есть: $P\{\left|X - E(X)\right|\leq\epsilon\} > 1 - \frac{D(X)}{\epsilon^2}$
Применимо к задаче: $P\{\left|\hat{\theta} - E(\hat{\theta})\right|\leq\epsilon\} > 1 - \frac{D(\hat{\theta})}{\epsilon^2}$
Исходя из условия 1, получим: $P\{\left|\hat{\theta} - \theta\right|\leq\epsilon\} > 1 - \frac{D(\hat{\theta})}{\epsilon^2}$
иходя из условия 2, получим: $P\{\left|\hat{\theta} - \theta\right|\leq\epsilon\} > 1 - 0 $
$P\{\left|\hat{\theta} - \theta\right|\leq\epsilon\} > 1 $

Посмотрите пожалуйста - правильно?

[Хорхе]

Бредятина, честно говоря. Особенно последняя строчка - я б за такое студентов бил бы.

Впрочем, если исправить нелепые ошибки (их тут не очень много), то можно сделать правильным

[Gortaur]

Кто такоя этот невероятно вероятный $|0|$? Его дополнение должно иметь отрицательную вероятность, весьма интересно... продолжайте!

[dampir_sanek]

Хорхе
Извините поторопился, исправил ошибки. Сейчас вроде верно, не бейте!) Снова поправил, с выводом сообразить не могу...

-- Чт янв 13, 2011 23:20:59 --

Gortaur, можно и посмеятся действительно

-- Пт янв 14, 2011 00:10:48 --

Определение состоятельной оценки: Оценка $\hat{\gamma}$ называется состоятельной, если

$$P\{\left|\hat{\gamma}_n - \gamma\right|>\epsilon\} \to_{n\to\infty} 0$$

Нам известно что
Условие 1: $E\hat{\theta}=\theta$
Условие 2: $D\hat{\theta}\to\!0$.
По теореме Чебышева имеем: $P\{\left|X - E(X)\right|>\epsilon\}\leq\frac{D(X)}\epsilon^2}$
Применимо к задаче: $P\{\left|\hat{\theta} - E(\hat{\theta})\right|>\epsilon\}\leq\frac{D(\hat{\theta})}{\epsilon^2}$
Исходя из условия 1, получим: $P\{\left|\hat{\theta} - \theta\right|>\epsilon\} \leq \frac{D(\hat{\theta})}{\epsilon^2}$
иходя из условия 2, получим: $P\{\left|\hat{\theta} - \theta\right|>\epsilon\} \leq 0 $ или $P\{\left|\hat{\theta} - \theta\right|>\epsilon\} \leq 0 $
При $n \to \infty$ оценка $\hat{\theta}(x_1, \ldots, x_n)$ приближается к значению $\theta$, а значит:
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}P\{\left|\hat{\theta} - \theta\right|>\epsilon\}$ = 0, следовательно оценка состоятельна ч.т.д.
Посмотрите пожалуйста - правильно?

[Joker_vD]

Э... а разве неавенство Чебышева это не

$$P\left\{\,|X - \mathbf M(X)|\geq\varepsilon\,\right\} \leq \frac{\mathbf D(X)}{\varepsilon^2}$$

О, вы исправили. Да, теперь правильно.

[dampir_sanek]

Joker_vD
Ура!

[ShMaxG]

dampir_sanek в сообщении #399556 писал(а):

иходя из условия 2, получим: $P\{\left|\hat{\theta} - \theta\right|>\epsilon\} \leq 0 $ или $P\{\left|\hat{\theta} - \theta\right|>\epsilon\} \leq 0 $

Ерунда. Почему справа ноль-то?

[Joker_vD]

Да, я не заметил строчку с "исходя из условия 2". Вам надо всего-то в предыдущей строке устремить обе части к пределу и помнить, что вероятность не бывает отрицательной.

[Хорхе]

dampir_sanek в сообщении #399556 писал(а):

$P\{\left|\hat{\theta} - \theta\right|>\epsilon\} \leq 0 $ или $P\{\left|\hat{\theta} - \theta\right|>\epsilon\} \leq 0 $
При $n \to \infty$ оценка $\hat{\theta}(x_1, \ldots, x_n)$ приближается к значению $\theta$, а значит:

Снова бред. Но если этот кусок выкинуть, то будет абсолютно правильное решение.

[dampir_sanek]

Теперь понял, надо было просто выспатся оказывается)
Хорхе, спасибо!