Свойство кривой

[Legioner93]

Обнаружил, что у конечных плоских кривых можно выделить вот такое свойство (или его отсутствие): если взять окружность, внутри которой полностью лежит данная кривая (не касаясь самой окружности), и разместить по всему периметру окружности светильники, то кривая либо будет полностью освещена, либо нет (это и есть моё свойство кривой). Причем, понятное дело, это свойство не зависит от выбора окружности. Или эквивалентное определение: существует/не существует точка на прямой, из которой видны только другие точки кривой, но не "внешнее" пространство. Или еще: если "ходить" вокруг кривой (по какой-то окружности, внутри которой кривая полностью лежит), то эту кривую можно полностью рассмотреть. А если сформулировать строго: существует такая точка на кривой, что любой луч, испущенный из этой точки будет иметь более 1 точки пересечения с кривой (считая начало). Можете ли что-то сказать про это свойство кривой или это бред?:) Аналогичное свойство можно выделить и для поверхностей.

[paha]

Legioner93 в сообщении #394947 писал(а):

у конечных плоских кривых

Что такое конечная кривая?

[Legioner93]

Не знаю, этот термин походу родился, он глупый:) Лучше заменить на "кривую, которую можно полностью заключить в некоторую границу", при этом конечность длины, конечно, не обязательна.

[ShMaxG]

Legioner93 в сообщении #394954 писал(а):

Лучше заменить на "кривую, которую можно полностью заключить в некоторую границу"

Ограниченная что ли?

А если она замкнута, с самопересечениями и т.д. то кривая все равно будет вся освещена? Или та же спираль...

[Legioner93]

ShMaxG в сообщении #394956 писал(а):

А если она замкнута, с самопересечениями и т.д. то кривая все равно будет вся освещена? Или та же спираль...

По моему определению кривую достаточно осветить только с одной стороны.
Если замкнута, то неясно (эллипс, к примеру, будет, но можно в нем такую "вмятину" сделать, в которой будет тень). Если с самопересечениями, то тоже неясно. А вот спираль точно всю не осветишь. Я вот как раз и говорю о еще одной классификации по "освещенности". Все кривые можно разделить на освещаемые и не освещаемые. Так что это за классификация такая?:)

ShMaxG в сообщении #394956 писал(а):

Ограниченная что ли?

Да, по-видимому

[paha]

Предлагаю такое определение:

Освещением кривой $\gamma:\langle a,b\rangle \to\mathbb{R}$ называется такое векторное поле единичной длины $X:\langle a,b\rangle \to\mathbb{R}^2$ вдоль кривой, что для любого $t\in \langle a,b\rangle$ луч $\gamma(t)+\tau X(t)$ не пересекает кривую ни при каком $\tau>0$.

Кривая, для которой существует хотя бы одно освещение, называется освещаемой.

Для начала, разумеется, надо исследовать регулярные замкнутые освещаемые кривые. Для них мы можем в каждой точке разложить $X$ по базису Френе: $X(t)=\cos\Phi(t) v(t)+\sin{\Phi(t)}n(t)$. Функцию $\Phi(t)$ естественно назвать функцией освещения.

Утверждение. Регулярная замкнутая кривая выпукла, если $\Phi(t)\equiv 0$ является функцией освещения данной кривой.

Таким образом "освещаемость" -- обобщение выпуклости.

[Legioner93]

paha
Да, спасибо! Очень у вас аккуратно вышло!
Еще подумаю, что можно "выжать" из понятия "освещаемости".

[paha]

Назовем функцию освещения регулярной замкнутой кривой $\gamma(t) $прекрасной, если линии $r(t,\tau)=\gamma(t)+\tau X(t)$ являются координатными линиями во внешней области кривой (некомпактнойограниченной компоненты связности дополнения к кривой).

Утверждения. 1) Функция освещения $\Phi$ регулярной замкнутой кривой является прекрасной, если $(\Phi'+k)\sin{\Phi}<0$ ($k$ -- кривизна кривой, параметризация натуральная).

2) Функция осещения $\Phi(t)\equiv -\pi/2$ поля нормалей выпуклой кривой является прекрасной.

[zbl]

paha в сообщении #394961 писал(а):

Освещением кривой $\gamma:\langle a,b\rangle \to\mathbb{R}$ называется такое векторное поле единичной длины $X:\langle a,b\rangle \to\mathbb{R}^2$ вдоль кривой, что для любого $t\in \langle a,b\rangle$ луч $\gamma(t)+\tau X(t)$ не пересекает кривую ни при каком $\tau>0$.

А я бы предложил понятие освещения одной кривой относительно другой.

Одна кривая освещаема с другой кривой, если любую точку первой можно соединить отрезком с некоторой точкой второй, не пересекая ни одну кривую.
Ещё, расслоение освещения: к каждой точке одной кривой приклеить все точки другой, которые можно соединить отрезком с данной точкой, не пересекающим ни одну из кривых.
Кривизна светильника: минимальная кривизна достаточно гладкой кривой, освещающей данную кривую.

Это всё похоже на операцию выталкивания из компьютерной графики.

[Circiter]

Больше похоже на задачу освещения из комбинаторной геометрии, особенно названием. :)

zbl писал(а):

Это всё похоже на операцию выталкивания из компьютерной графики.

Странно. никогда не слышал. Это случаем не тоже самое, что и лофтинг?

[zbl]

Circiter в сообщении #399636 писал(а):

zbl писал(а):

Это всё похоже на операцию выталкивания из компьютерной графики.

Странно. никогда не слышал. Это случаем не тоже самое, что и лофтинг?

Я имел в виду то, что называют Extrusion.
Lofting чуть-чуть другая операция, но смысл тот же.

-- 14 янв 2011 02:05 --

Circiter в сообщении #399636 писал(а):

Больше похоже на задачу освещения из комбинаторной геометрии, особенно названием.

Ага, очень похоже:
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3758/%D0%9E%D0%A1%D0%92%D0%95%D0%A9%D0%95%D0%9D%D0%98%D0%AF
Только комбинаторная геометрия зациклилась на выпуклых фигурах.

[paha]

zbl в сообщении #399475 писал(а):

Ещё, расслоение освещения: к каждой точке одной кривой приклеить все точки другой, которые можно соединить отрезком с данной точкой, не пересекающим ни одну из кривых.

где тут расслоение???

[Ales]

Наверное, можно так описать задачу:
есть кривая и семейство касательных прямых к этой кривой таких, что касательная без пересечения с кривой хотя бы в одну сторону продолжается на бесконечность.
Найти огибающую кривую для этого семейства прямых. Совпадает ли она с исходной?

-- Пн янв 24, 2011 12:55:11 --

Правда это не совсем то, что надо.
Лучше так: повернуть свет в обратную сторону и расположить точечный светильник на самой кривой.
Рассмотреть границу света и тени.
Если есть такая точка, что свет не выходит на бесконечность, то кривая не освещается.

[paha]

Ales в сообщении #403713 писал(а):

Наверное, можно так описать задачу:
есть кривая и семейство касательных прямых к этой кривой таких, что касательная без пересечения с кривой хотя бы в одну сторону продолжается на бесконечность.
Найти огибающую кривую для этого семейства прямых. Совпадает ли она с исходной?

это совершенно не имеет отношение к стартовой теме... при чем тут касательные-то?

Ales в сообщении #403713 писал(а):

Лучше так: повернуть свет в обратную сторону и расположить точечный светильник на самой кривой.
Рассмотреть границу света и тени.
Если есть такая точка, что свет не выходит на бесконечность, то кривая не освещается.

а формулки?

[Ales]

paha в сообщении #404633 писал(а):

это совершенно не имеет отношение к стартовой теме... при чем тут касательные-то?

Почему же, имеет: свет может попасть на точку кривой только лишь с одной стороны от касательной.
Но этот подход все равно не помогает.

paha в сообщении #404633 писал(а):

а формулки?

Это просто другое определение. А формул нет.