Методические указания по тензорной алгебре

[Marten]

Доброго времени суток.
Требуется уметь упрощать выражения/доказывать тождества вида:
$\underline{a} \times\underline{\underline{E}}\cdot\cdot\underline{b} \times\underline{\underline{E}} = -2\underline{a} \cdot\underline{b} $
$\Delta(\underline{a} \times\underline{b})} = (\Delta\underline{a})\times\underline{b} - 2(\nabla\underline{a})\times\cdot(\nabla\underline{b}) + (\Delta\underline{b})\times\underline{a}$
$\nabla\cdot(\underline{rr}\cdot\underline{\underline{A}}\times\underline{r}) = 5\underline{r}\cdot\underline{\underline{A}}\times\underline{r}$
Хоть и теории по тензорам достаточно много, но как дело доходит до практики то ничего толком решить не могу. Буду очень благодарен за хорошую методическую литературу.

[paha]

Цитата:

Какие странные дощечки и непонятные крючки!

[Niclax]

П. А. Жилин "Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве"

В. А. Пальмов "Элементы тензорной алгебры и тензорного анализа"

[Утундрий]

Marten в сообщении #398656 писал(а):

$\underline{a} \times\underline{\underline{E}}\cdot\cdot\underline{b} \times\underline{\underline{E}} = -2\underline{a} \cdot\underline{b} $

Душа требовает скобочек... и стрелочек-шапочек... заместо черточек...
$\[ \begin{gathered} \left( {\vec a \times \hat 1} \right) \cdot \cdot \left( {\hat 1 \times \vec b} \right) = a_i b_m \left( {\vec e_i \times \vec e_k \vec e_k } \right) \cdot \cdot \left( {\vec e_l \vec e_l \times \vec e_m } \right) = a_i b_m \left( {\varepsilon _{pik} \vec e_p \vec e_k } \right) \cdot \cdot \left( {\varepsilon _{slm} \vec e_l \vec e_s } \right) = \hfill \\ = a_i b_m \varepsilon _{pik} \varepsilon _{slm} \delta _{kl} \delta _{ps} = - a_i b_m 2\delta _{im} = - 2\vec a \cdot \vec b \hfill \\ \end{gathered} \] $

[Marten]

Niclax в сообщении #398731 писал(а):

П. А. Жилин "Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве"

В. А. Пальмов "Элементы тензорной алгебры и тензорного анализа"

Спасибо, но как раз в этих учебниках я и не нашел того что нужно.

Утундрий в сообщении #399023 писал(а):

Marten в сообщении #398656 писал(а):

$\underline{a} \times\underline{\underline{E}}\cdot\cdot\underline{b} \times\underline{\underline{E}} = -2\underline{a} \cdot\underline{b} $

Душа требовает скобочек... и стрелочек-шапочек... заместо черточек...
$\[ \begin{gathered} \left( {\vec a \times \hat 1} \right) \cdot \cdot \left( {\hat 1 \times \vec b} \right) = a_i b_m \left( {\vec e_i \times \vec e_k \vec e_k } \right) \cdot \cdot \left( {\vec e_l \vec e_l \times \vec e_m } \right) = a_i b_m \left( {\varepsilon _{pik} \vec e_p \vec e_k } \right) \cdot \cdot \left( {\varepsilon _{slm} \vec e_l \vec e_s } \right) = \hfill \\ = a_i b_m \varepsilon _{pik} \varepsilon _{slm} \delta _{kl} \delta _{ps} = - a_i b_m 2\delta _{im} = - 2\vec a \cdot \vec b \hfill \\ \end{gathered} \] $

Вот за это огромное спасибо!
Теперь самая большая загадка - действие дифференциальных операторов на диады/триады и степенные выражения вида:
$\nabla[(\underline{r}\cdot\underline{a})^n] = n(\underline{r}\cdot\underline{a})^{n-1}\underline{a}$
У меня получается вот так:
$\nabla[(\underline{r}\cdot\underline{a})^n] = n(\underline{r}\cdot\underline{a})^{n-1}\cdot((\nabla\underline{r})\cdot\underline{a} + (\nabla\underline{a})\cdot\underline{r}) = n(\underline{r}\cdot\underline{a})^{n-1}\cdot(\underline{a} + (\nabla\underline{a})\cdot\underline{r})$
Как дальше преобразовать непонятно.

[Munin]

А что такое дриады?

[Утундрий]

Marten в сообщении #399228 писал(а):

$\nabla[(\underline{r}\cdot\underline{a})^n] = n(\underline{r}\cdot\underline{a})^{n-1}\underline{a}$

Здесь, очевидно, предполагается $\[\vec a = const\]$.

[moscwicz]

Munin в сообщении #399268 писал(а):

А что такое дриады?

на языке дикарей племени "Тумба-юмба" это тензорное произведение векторов

[Утундрий]

(Оффтоп)

Marten в сообщении #399228 писал(а):

диады/триады

Munin в сообщении #399268 писал(а):

дриады?

Нет, не древесные нимфы. Просто плохое зрение...

[Александр Т.]

Marten в сообщении #398656 писал(а):

Доброго времени суток.
Требуется уметь упрощать выражения/доказывать тождества вида:
...
$\Delta(\underline{a} \times\underline{b})} = (\Delta\underline{a})\times\underline{b} - 2(\nabla\underline{a})\times\cdot(\nabla\underline{b}) + (\Delta\underline{b})\times\underline{a}$
...

Все-таки должно быть

$$ \Delta\left(\vec{a}\times\vec{b}\right) = \Delta\vec{a}\times\vec{b} + 2\nabla\vec{a}\left(\times\cdot\right)\left(\nabla\vec{b}\right)^\mathrm{T} - \Delta\vec{b}\times\vec{a} , $$

где $\hat{A}^\mathrm{T}$ обозначает транспонирование тензора второго ранга $\hat{A}$, и полагается, что дифференциальные операторы действуют только на объекты, стоящие непосредственно после них (т.е. если дифференциальный оператор действует на несколько объектов, то их следует заключать в скобки и ставить непосредственно после этого оператора).

[нехотя]
Ну, или в Ваших обозначениях

$$ \Delta(\underline{a} \times\underline{b})} = (\Delta\underline{a})\times\underline{b} + 2(\nabla\underline{a})\times\cdot(\nabla\underline{b})^\mathrm{T} - (\Delta\underline{b})\times\underline{a} . $$

Утундрий в сообщении #399023 писал(а):

Marten в сообщении #398656 писал(а):

$\underline{a} \times\underline{\underline{E}}\cdot\cdot\underline{b} \times\underline{\underline{E}} = -2\underline{a} \cdot\underline{b} $

Душа требовает скобочек...

Похоже, что в той системе обозначений $\times$ имеет приоритет над $\cdot$.

[Marten]

Утундрий в сообщении #399480 писал(а):

Marten в сообщении #399228 писал(а):

$\nabla[(\underline{r}\cdot\underline{a})^n] = n(\underline{r}\cdot\underline{a})^{n-1}\underline{a}$

Здесь, очевидно, предполагается $\[\vec a = const\]$.

Да, наверно так.

Александр Т. в сообщении #399664 писал(а):

Все-таки должно быть

$$ \Delta\left(\vec{a}\times\vec{b}\right) = \Delta\vec{a}\times\vec{b} + 2\nabla\vec{a}\left(\times\cdot\right)\left(\nabla\vec{b}\right)^\mathrm{T} - \Delta\vec{b}\times\vec{a} , $$

А нельзя ли здесь поподробней?
Я так понимаю в начале получается так:
$\nabla(\underline{a}\times\underline{b}) = (\nabla\underline{a})\times\underline{b} + \underline{a}\times(\nabla\underline{b})$
Если эта конструкция $\nabla\underline{a}$ рассматривается как диада, то дальше я не знаю как тут применить дивергенцию, если это что-то другое то тем более...

[Утундрий]

Marten в сообщении #400135 писал(а):

то дальше я не знаю как

В компонентах. Такое, понимаете ли, сильное средство...

[Александр Т.]

Marten в сообщении #400135 писал(а):

Александр Т. в сообщении #399664 писал(а):

Все-таки должно быть

$$ \Delta\left(\vec{a}\times\vec{b}\right) = \Delta\vec{a}\times\vec{b} + 2\nabla\vec{a}\left(\times\cdot\right)\left(\nabla\vec{b}\right)^\mathrm{T} - \Delta\vec{b}\times\vec{a} , $$

А нельзя ли здесь поподробней?
Я так понимаю в начале получается так:
$\nabla(\underline{a}\times\underline{b}) = (\nabla\underline{a})\times\underline{b} + \underline{a}\times(\nabla\underline{b})$

Правильно будет

$$ \nabla\left(\vec{a}\times\vec{b}\right) = \nabla\vec{a}\times\vec{b} + \left[ \vec{a}\times\left(\nabla\vec{b}\right)^\mathrm{T} \right]^\mathrm{T} , $$

или

$$ \nabla\left(\vec{a}\times\vec{b}\right) = \nabla\vec{a}\times\vec{b} - \nabla\vec{b}\times\vec{a} . $$

(Про систему обозначений, которую я использую, я написал выше по ветке.)

Цитата:

Если эта конструкция $\nabla\underline{a}$ рассматривается как диада, то дальше я не знаю как тут применить дивергенцию, если это что-то другое то тем более...

$$ \nabla\cdot\left(\nabla\vec{a}\right) = \nabla\cdot\nabla\vec{a} = \Delta\vec{a} $$

[Marten]

Да, спасибо, в этом уже разобрался.
Все еще не могу понять как найти градиент от диады. Если расписывать в координатах:
$\nabla(\underline{r}\underline{r}) = \underline{i}_k {\partial\over\partial x_k}(\underline{i}_n x_n\underline{i}_l x_l) = \underline{i}_k \underline{i}_n {\partial x_n\over\partial x_k}\underline{i}_l x_l + \underline{i}_k \underline{i}_n x_n\underline{i}_l {\partial x_l\over\partial x_k}$
В первом слагаемом получается:
$\underline{i}_k \underline{i}_n {\partial x_n\over\partial x_k}\underline{i}_l x_l = \underline{i}_k \underline{i}_n \delta_{kn}\underline{i}_l x_l = \underline{i}_k \underline{i}_k \underline{i}_l x_l = \underline{\underline{E}}\underline{r}$
Во втором:
$\underline{i}_k \underline{i}_n x_n\underline{i}_l {\partial x_l\over\partial x_k} = \underline{i}_k \underline{i}_n x_n\underline{i}_l \delta_{lk} = \underline{i}_k \underline{i}_n x_n\underline{i}_k = \underline{i}_k \underline{r}\underline{i}_k$
Это правильно?

[Александр Т.]

Marten в сообщении #401441 писал(а):

Все еще не могу понять как найти градиент от диады. Если расписывать в координатах:
$\nabla(\underline{r}\underline{r}) = \underline{i}_k {\partial\over\partial x_k}(\underline{i}_n x_n\underline{i}_l x_l) = \underline{i}_k \underline{i}_n {\partial x_n\over\partial x_k}\underline{i}_l x_l + \underline{i}_k \underline{i}_n x_n\underline{i}_l {\partial x_l\over\partial x_k}$
В первом слагаемом получается:
$\underline{i}_k \underline{i}_n {\partial x_n\over\partial x_k}\underline{i}_l x_l = \underline{i}_k \underline{i}_n \delta_{kn}\underline{i}_l x_l = \underline{i}_k \underline{i}_k \underline{i}_l x_l = \underline{\underline{E}}\underline{r}$
Во втором:
$\underline{i}_k \underline{i}_n x_n\underline{i}_l {\partial x_l\over\partial x_k} = \underline{i}_k \underline{i}_n x_n\underline{i}_l \delta_{lk} = \underline{i}_k \underline{i}_n x_n\underline{i}_k = \underline{i}_k \underline{r}\underline{i}_k$
Это правильно?

Правильно.

Для вывода в инвариантном виде следует использовать тождество $\nabla\vec{r}=\hat{I}$ (через $\hat{I}$ я обозначаю единичный тензор):

$$ \nabla\left(\vec{r}\vec{r}\right) = \nabla\vec{r}\vec{r} + \left(\vec{r}\nabla\vec{r}\right)^{\mathrm{T}(1,2)} = \hat{I}\vec{r} + \left(\vec{r}\hat{I}\right)^{\mathrm{T}(1,2)} , $$

где $\stackrel{\scriptsize3\wedge}{A}^{\mathrm{T}(1,2)}$ обозначает перестановку первого и второго индексов у тензора третьего ранга $\stackrel{\scriptsize3\wedge}{A}}$, т.е.
$\left(A^{ijk}\vec{e}_i\vec{e}_j\vec{e}_k\right)^{\mathrm{T}(1,2)}=A^{jik}\vec{e}_i\vec{e}_j\vec{e}_k$.