Решения нормальной линейной системы дифф. уравнений

[Alfucio]

Здравствуйте!

Задача: могут ли функции ${\varphi ^1}(t) = (1,t);{\varphi ^2}(t) = (3,{t^2})$ быть решениями некоторой нормальной линейной системы с непрерывными на всей прямой коэффициентами?

Мне кажется, что нет. Доказательство:
1) Так как эти две функции линейно независимы, являются решениями и порядок системы равен двум, то эти функции составляют ФСР.
2) Раз они составляют ФСР, то решение записывается в следующем виде: $\[{x_1} = {C_1} + 3{C_2};{x_2} = {C_1}t + {C_2}{t^2}\]$.
3) По условиям у нас в общем случае нормальная неоднородная линейная система:
$\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {{x_1}}\limits^o }\\ {\mathop {{x_2}}\limits^o } \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}(t)}&{{a_{12}}(t)}\\ {{a_{21}}(t)}&{{a_{22}}(t)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}(t)}\\ {{b_2}(t)} \end{array}} \right)\]$.
4) Подставим наши функции:
$\[\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {{C_1} + 2{C_2}t} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}(t)}&{{a_{12}}(t)}\\ {{a_{21}}(t)}&{{a_{22}}(t)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{C_1} + 3{C_2}}\\ {{C_1}t + {C_2}{t^2}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}(t)}\\ {{b_2}(t)} \end{array}} \right) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {{C_1} + 2{C_2}t} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}(t)({C_1} + 3{C_2}) + {a_{12}}(t)({C_1}t + {C_2}{t^2})}\\ {{a_{21}}(t)({C_1} + 3{C_2}) + {a_{22}}(t)({C_1}t + {C_2}{t^2})} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}(t)}\\ {{b_2}(t)} \end{array}} \right) \end{array}\]$.
5) Значит, должно выполняться в том числе второе равенство:
$\[{C_1} + 2{C_2}t = {a_{21}}(t)({C_1} + 3{C_2}) + {a_{22}}(t)({C_1}t + {C_2}{t^2}) + {b_2}(t)\]$.
6) Здесь мне кажется, что не существует таких непрерывных функций $\[{a_{21}}(t),{a_{22}}(t)\]$, чтобы выполнялось равенство из 5. Но доказать этого не могу четко.

Прошу подсказать:
1) Правилен ли ход рассуждения?
2) Если да, то как лучше доказать выполнимость 6-го?
3) Нет ли более красивого (в том числе более теоретического) решения данной задачи (мне кажется, что оно есть, но найти пока не могу...)?

Заранее спасибо!

[Someone]

Alfucio в сообщении #398760 писал(а):

1) Так как эти две функции линейно независимы, являются решениями и порядок системы равен двум, то эти функции составляют ФСР.

Если система однородная, то это так. Если неоднородная, то ничего подобного. У Вас будет только одно решение однородной системы - $\varphi^1(t)-\varphi^2(t)$. Никакой ФСР Вы не получите.

[Alfucio]

Someone в сообщении #398768 писал(а):

Если система однородная, то это так. Если неоднородная, то ничего подобного. У Вас будет только одно решение однородной системы - $\varphi^1(t)-\varphi^2(t)$. Никакой ФСР Вы не получите.

Подскажите, пожалуйста, почему.

[Padawan]

Alfucio
Уточните, Ваша линейная система обязана быть однородной, или нет?
В случае однородной системы, запишите, что $\varphi^1(t)$, $\varphi^2(t)$ являются решениями системы. Получится 4 уравнения с четырьми неизвестными функциями-коэффициентами системы $a_{11}(t),a_{12}(t)$, $a_{21}(t)$, $a_{22}(t)$. Решите её.

А неоднородную систему, я думаю, можно подобрать.

[Alfucio]

Нет, система может быть и неоднородной, то есть рассматривается нормальная линейная система в общем виде.

Подобрать нужную систему пока не удается. По формулировке задачи мне кажется, что такой системы не существует, и решение является красивым теоретическим, но пока не удается додуматься :).

[Someone]

Alfucio в сообщении #398774 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, почему.

Потому что если $\varphi^1(t)$ и $\varphi^2(t)$ - решения неоднородной системы, то они не являются решениями однородной. А решением однородной будет только их разность (умноженная на любое число). Посмотрите в лекциях или в учебнике свойства решений линейных дифференциальных уравнений (обычно их формулируют для одного уравнения).

[Padawan]

Проверьте, удовлетворяет ли системе с $a_{11}=a_{12}=b_1=0$, $a_{21}=t-\frac{1}{2}$, $a_{22}=0$, $b_2=-t+\frac{3}{2}$.

[Alfucio]

Padawan в сообщении #398833 писал(а):

Проверьте, удовлетворяет ли системе с $a_{11}=a_{12}=b_1=0$, $a_{21}=t-\frac{1}{2}$, $a_{22}=0$, $b_2=-t+\frac{3}{2}$.

Да, эта система действительно подходит.

После проверки я попытался вывести решение самостоятельно:
$\left\{ \begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}(t)}&{{a_{12}}(t)}\\ {{a_{21}}(t)}&{{a_{22}}(t)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ t \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}(t)}\\ {{b_2}(t)} \end{array}} \right)\\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {2t} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}(t)}&{{a_{12}}(t)}\\ {{a_{21}}(t)}&{{a_{22}}(t)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ {{t^2}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}(t)}\\ {{b_2}(t)} \end{array}} \right) \end{array} \right.$

Нам ничего не мешает ${a_{11}}(t),{a_{12}}(t),{b_1}(t)$ приравнять к нулю.

Решая систему
$\left\{ \begin{array}{l} 1 = {a_{21}}(t) + {a_{22}}(t)t + {b_2}(t)\\ 2t = 3{a_{21}}(t) + {a_{22}}(t){t^2} + {b_2}(t) \end{array} \right.$,
мы находим «решение» (то есть искомую систему под данное в условиях задачи решение).

А если бы ${\varphi ^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {{t^2}} \end{array}} \right)$?

Получается:
$\left\{ \begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}(t)}&{{a_{12}}(t)}\\ {{a_{21}}(t)}&{{a_{22}}(t)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ t \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}(t)}\\ {{b_2}(t)} \end{array}} \right)\\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {2t} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}(t)}&{{a_{12}}(t)}\\ {{a_{21}}(t)}&{{a_{22}}(t)} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {{t^2}} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}(t)}\\ {{b_2}(t)} \end{array}} \right) \end{array} \right.$

Снова нам ничего не мешает ${a_{11}}(t),{a_{12}}(t),{b_1}(t)$ приравнять к нулю.

Однако, решая систему
$\left\{ \begin{array}{l} 1 = {a_{21}}(t) + {a_{22}}(t)t + {b_2}(t)\\ 2t = {a_{21}}(t) + {a_{22}}(t){t^2} + {b_2}(t) \end{array} \right.$,
и вычитая из второго первое, мы получим:
$\left\{ \begin{array}{l} 1 = {a_{21}}(t) + {a_{22}}(t)t + {b_2}(t)\\ 2t - 1 = {a_{22}}(t)({t^2} - t) \end{array} \right.$.

Следовательно, $\[{a_{22}}(t) = \frac{{2t - 1}}{{({t^2} - t)}}\]$.

А это не подходит под условие...

Подскажите, пожалуйста, правильно ли я понимаю:
1) Что если ${\varphi ^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {{t^2}} \end{array}} \right)$, то эти функции не могут быть решениями (и даже однородной, так как однородная — частный случай нормальной)?
2) Если да, то можно ли при ${\varphi ^2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {{t^2}} \end{array}} \right)$ это как-то теоретически вывести, без подсчетов?

[Padawan]

Alfucio в сообщении #398859 писал(а):

Снова нам ничего не мешает ${a_{11}}(t),{a_{12}}(t),{b_1}(t)$ приравнять к нулю.

Однако, решая систему
...

Следовательно, $\[{a_{22}}(t) = \frac{{2t - 1}}{{({t^2} - t)}}\]$.

А это не подходит под условие...

Это, если мы возьмем $a_{11}(t),a_{12}(t), b_1(t)$ нулями. А вдруг при других функциях получится?

Я делал так: выразил $a_{ij}$ через функции $b_1(t), b_2(t)$. Дальше подбирал $b_1(t), b_2(t)$ в виде многочленов так, чтобы $a_{ij}(t)$ не имели особенностей -- чтобы знаменатели сократились.

[Alfucio]

Извините, пожалуйста, но насколько я понимаю, «верхняя» и «нижняя» части друг от друга не зависят: ${\varphi ^1},{\varphi ^2},\frac{\partial }{{\partial t}}{\varphi ^1},\frac{\partial }{{\partial t}}{\varphi ^2}$ у нас «константы», ${a_{11}}(t),{a_{12}}(t),{b_1}(t)$ мы можем выбрать любые, главное чтобы «верхнее» уравнение у нас было выполнено. Мы их берем «самыми простыми», равными нулю. «Нижнее» уравнение от ${a_{11}}(t),{a_{12}}(t),{b_1}(t)$ не зависит. Или я ошибаюсь?..

[Padawan]

А, ну да, Вы правы, система распадается на независимые уравнения. Значит, нельзя подобрать систему

[Alfucio]

Спасибо!