Компактное пространство

[Pinkey]

Помогите пожалуйста понять, что такое компактное пространство, простыми словами

[Gortaur]

То, в котором любая последовательность которая по идее содержит предел, имеет предел в этом множестве.

[Dan B-Yallay]

А что Вам непонятно в определении? Из любого открытого покрытия можно выбрать коненое подпокрытие.
Очень важное свойство при доказательстве многих теорем. Это конечно про множество.

Вас интересует именно пространство?

[Pinkey]

да, именно пространство, хотя я не совсем понимаю в чем кардинальная разница между пространством и множеством. а по поводу определения: под конечным подпокрытием подразумевается покрытие замкнутыми множествами что ли

[Joker_vD]

Пространство — это множество с приклеенным к нему чем-то интересным: метрикой, к примеру. Насчет подпокрытия: покрытие называется конечным, если оно состоит из конечного числа множеств. Т.е. если вы покрыли компактное пространство бесконечным количеством множеств, то всегда сможете отобрать из них $n$ штук, и эти $n$ множеств все равно покроют все пространство.

[Pinkey]

спасибо:) теперь все прояснилось

[moscwicz]

Joker_vD в сообщении #398218 писал(а):

Насчет подпокрытия: покрытие называется конечным, если оно состоит из конечного числа множеств. Т.е. если вы покрыли компактное пространство бесконечным количеством множеств, то всегда сможете отобрать из них $n$ штук, и эти $n$ множеств все равно покроют все пространство

Покроем отрезок $[0,1]$ одноточечными множествами $\{x\},\quad x\in[0,1]$. Извлеките из этих множеств конечное покрытие plz

[Joker_vD]

moscwicz
Ох, я пропустил слово "открытых". Mea culpa, confiteor.

[ewert]

Pinkey в сообщении #398214 писал(а):

хотя я не совсем понимаю в чем кардинальная разница между пространством и множеством.

ни в чём: каждое множество может само по себе рассматриваться как некое пространство

[SakumaRei]

Pinkey в сообщении #398214 писал(а):

да, именно пространство, хотя я не совсем понимаю в чем кардинальная разница между пространством и множеством. а по поводу определения: под конечным подпокрытием подразумевается покрытие замкнутыми множествами что ли

В вашем случае имеется ввиду метрическое пространство судя по всему, что и есть по сути множество, только еще с метрической структурой.

[JMH]

"В теории метрических пространств эти понятия [компактность и полная ограниченность - JMH] служат заменой понятия "конечности" в чистой теории множеств: они выражают свойство метрического пространства быть, так сказать, "приближенно конечным". Заметим, что (это следует из определения) компактность является топологическим понятием, но полная ограниченность топологическим понятием не является."

Дьедонне, "Основы современного анализа".

[Виктор Викторов]

Dan B-Yallay в сообщении #398209 писал(а):

А что Вам непонятно в определении? Из любого открытого покрытия можно выбрать коненое подпокрытие.
Очень важное свойство при доказательстве многих теорем. Это конечно про множество.

Осторожно! Обычно компактность определяется для пространства. Компактность множества трактуется как компактность подпространства.

JMH в сообщении #398984 писал(а):

"В теории метрических пространств эти понятия [компактность и полная ограниченность - JMH] служат заменой понятия "конечности" в чистой теории множеств: они выражают свойство метрического пространства быть, так сказать, "приближенно конечным". Заметим, что (это следует из определения) компактность является топологическим понятием, но полная ограниченность топологическим понятием не является."

Дьедонне, "Основы современного анализа".

Я не собираюсь спорить с Дьедонне. Но смысл компактности прост: в метрическом пространстве множество замкнуто и ограничено, что эквивалентно выделению конечного подпокрытия из каждого открытого покрытия. А теперь избавившись от ограниченности можно дать определение в топологическом пространстве.

[Someone]

Виктор Викторов в сообщении #398998 писал(а):

Но смысл компактности прост: в метрическом пространстве множество замкнуто и ограничено, что эквивалентно выделению конечного подпокрытия из каждого открытого покрытия.

Не совсем. Ограниченную метрику можно на любом метризуемом пространстве задать, не только на компактном.
Замкнутое подмножество полного метрического пространства компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено, то есть, для каждого $\varepsilon>0$ в этом множестве имеется конечная $\varepsilon$-сеть.

[ewert]

Вообще-то на метрическом пространстве компактность (ну или предкомпактность) сводится к секвенциальной компактности. И это принципиально, именно это открывает путь к доказательству теорем существования решения, ну а там, глядишь -- и к построению алгоритмов для приближённых решений.

[Виктор Викторов]

Someone в сообщении #399016 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #398998 писал(а):

Но смысл компактности прост: в метрическом пространстве множество замкнуто и ограничено, что эквивалентно выделению конечного подпокрытия из каждого открытого покрытия.

Не совсем. Ограниченную метрику можно на любом метризуемом пространстве задать, не только на компактном.
Замкнутое подмножество полного метрического пространства компактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено, то есть, для каждого $\varepsilon>0$ в этом множестве имеется конечная $\varepsilon$-сеть.

Всё по Фрейду. Думал-то я о числовой прямой, а сказал про любое метрическое пространство.