Предел

[integral2009]

Почему

$$\lim_{x \to 0}{\dfrac{x-\sqrt{1-x^2}\arcsin x}{2x^2\arcsin x} \ne \lim_{x \to 0}{\dfrac{x-\sqrt{1-x^2}\cdot x}{2x^2\cdot x}$$

Использовался тот факт, что $\arcsin x \sim x$ пр $x \to 0$

Таким способом дорешать несложно, но ответ -- неверен!

Каким способом нужно решать и почему нельзя пользоваться эквивалентностью?!

Спасибо, заранее!!!

[paha]

Надо аккуратней:

integral2009 в сообщении #397923 писал(а):

$$\lim_{x \to 0}{\dfrac{x-\sqrt{1-x^2}\arcsin x}{2x^2\arcsin x}= \lim_{x \to 0}{\dfrac{x-\sqrt{1-x^2}\cdot (x+O(x^3))}{2x^2\cdot (x+O(x^3)}=\frac{1}{4}+O(1)$$

так что там еще константа:)))
Если не знаете разложение арксинуса до куба -- ползуйтесь Лопиталем

[integral2009]

paha в сообщении #397927 писал(а):

Надо аккуратней:

integral2009 в сообщении #397923 писал(а):

$$\lim_{x \to 0}{\dfrac{x-\sqrt{1-x^2}\arcsin x}{2x^2\arcsin x}= \lim_{x \to 0}{\dfrac{x-\sqrt{1-x^2}\cdot (x+O(x^3))}{2x^2\cdot (x+O(x^3)}=\frac{1}{4}+O(1)$$

так что там еще константа:)))
Если не знаете разложение арксинуса до куба -- ползуйтесь Лопиталем

Спасибо, Paha) Лопиталем нужно пользоваться дважды и будет очень громоздко!
А как узнать - где можно пользоваться $\arcsin x \sim x$ при $x \to 0$, а где -- нельзя?!

-- Вт янв 11, 2011 00:20:38 --

А как так получилось, что $\dfrac{1}{4}+O(1)$??

[gris]

Можно разделить числитель и знаменатель на арксинус и после этого применить эквивалентности для него и для корня.
PS а вроде бы $\quad\dfrac x{\arcsin x} \sim 1-\dfrac{x^2}6$
При вычитании надо брать степени до первой, не сокращаемой полностью.
Просто тут это заметнее.

[paha]

integral2009 в сообщении #397923 писал(а):

$$x-\sqrt{1-x^2}\cdot (x+O(x^3)=x-(1-\frac{x^2}{2}+O(x^4))(x+O(x^3))=\frac{x^3}{2}+O(x^3)$$

Разделите это на $2x^3$ и получится $1/4+O(1)$

integral2009 в сообщении #397928 писал(а):

А как узнать - где можно пользоваться $\arcsin x \sim x$ при $x \to 0$, а где -- нельзя?!

Таскайте до самого конца $O$ (или $o$)

-- Вт янв 11, 2011 00:29:59 --

gris в сообщении #397933 писал(а):

Можно разделить числитель и знаменатель на арксинус и после этого применить эквивалентности для него и для корня.

нельзя -- получится неправильный ответ $1/4$ как в стартовом сообщении

-- Вт янв 11, 2011 00:30:54 --

integral2009 в сообщении #397928 писал(а):

Лопиталем нужно пользоваться дважды и будет очень громоздко!

а Вы сначала замену сделайте $x=\sin{t}$

[integral2009]

Точно) Спасибо) Спасибо!!!
То есть, если в разложении будет присутствовать $O(1)$, то небоходимо разложить дальше?)
Хороший вариант замены! $\dfrac{1}{6}$

[paha]

integral2009 в сообщении #397937 писал(а):

То есть, если в разложении будет присутствовать $O(1)$, то небоходимо разложить дальше?)

если в самом конце будет что-то вроде $O(1)$, или $\frac{o(x)}{x^{3/2}}$, то да...

[ewert]

integral2009 в сообщении #397928 писал(а):

А как узнать - где можно пользоваться $\arcsin x \sim x$ при $x \to 0$, а где -- нельзя?!

Очень просто. Знаменатель ведёт себя откровенно как икс в кубе. Поэтому и числитель нужно раскладывать именно до третьих степеней включительно. Ну, стало быть, и сам арксинус (раз уж он умножается на более-менее единичку). А корень, соответственно -- до квадратов (следующеё степенью в нём будет четвёртая, и она уже не нужна).

[Sonic86]

integral писал(а):

А как узнать - где можно пользоваться $\arcsin x \sim x$ при $x \to 0$, а где -- нельзя?!

В общем случае, если у Вас дан $\lim\limits_{x \to a} F(x)$ и $F(x)=f(x)g(x)$, то эквивалентностью $f(x) \sim h(x)$ пользоваться можно, иначе - надо либо $O$ таскать (как уже сказали), либо еще чего...