Объясните обозначения в дифф. уравнениях

[Sverest]

Здравствуйте, объясните что значат в дифф. уравнениях обозначения $F_{yy}$, $F_{yy'}$, $F_{y'y'}$ ?

[paha]

Sverest в сообщении #397025 писал(а):

Здравствуйте, объясните что значат в дифф. уравнениях обозначения $F_{yy}$, $F_{yy'}$, $F_{y'y'}$ ?

производные:))

$$ F_{ab}=\frac{\partial^2F}{\partial a\,\partial b} $$

[Sverest]

Можете объяснить как эти производные вычислять на каком нибудь примере, не совсем пойму как это делается

[paha]

Sverest в сообщении #397030 писал(а):

Можете объяснить как эти производные вычислять на каком нибудь примере, не совсем пойму как это делается

вот если производная по букве $a$:

$$ \frac{\partial F}{\partial a} $$

то вы числяйте как обычную производную по $a$:

$$ \frac{\partial}{\partial y'}\Bigl(xy^2y'^3-123\cdot xy^2-yy' \Bigr)=3xy^2y'^2-y $$

вукомпрене?

[Munin]

Этому отдельно учат. Сначала надо записать функцию в таком виде, чтобы в формуле явно фигурировал параметр, по которому берётся производная (в выше упомянутых случаях - $y,$ $y',$ $a,$ $b$), а все остальные буквы были бы от него независимы, или эта зависимость была бы явно указана. Потом берёте производную точно так же, как просто производную функции, если бы все остальные буквы были константами или функциями от переменной дифференцирования.

Например, если $F=ax^2+bxy+cy^2,$ то
$F_x\equiv\dfrac{\partial F}{\partial x}=2ax+by$
$F_y\equiv\dfrac{\partial F}{\partial y}=bx+2cy$
Вторые производные вычисляются последовательно как производные от первых производных:
$F_{xx}\equiv\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial x}=2a$
$F_{xy}\equiv\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial y}=b$
$F_{yx}\equiv\dfrac{\partial^2F}{\partial y\partial x}=b$
$F_{yy}\equiv\dfrac{\partial^2F}{\partial y\partial y}=2c$
Можно заметить, что $F_{xy}=F_{yx},$ причём на самом деле это всегда так (есть соответствующая теорема), а поэтому неважно, в каком порядке записываются производные по разным переменным. Часто их пишут просто по порядку букв.

P. S. Пока писал, paha раньше успел :-(

[Sverest]

Значит если $F=y'^3$, то $F_{y'y'}=6y'$ ?

Почему в методичке написано $\frac{d}{dx} (2y')=2y''$ ? Это разве правильно?

Как быть если попадается $\frac{d}{dx} xy$ надо считать $x$ постоянной или $y$ ?

[paha]

Sverest в сообщении #397038 писал(а):

Почему в методичке написано $\frac{d}{dx} (2y')=2y''$ ? Это разве правильно?

надо отличать полную производную

Sverest в сообщении #397038 писал(а):

$\frac{d}{dx} (2y')=2y''$

от частной

$$ (2y')_x=\frac{\partial}{\partial x}(2y')=0 $$

-- Вс янв 09, 2011 00:46:43 --

Sverest в сообщении #397038 писал(а):

Как быть если попадается $\frac{d}{dx} xy$ надо считать $x$ постоянной или $y$ ?

это полная производная

$$ \frac{d}{dx} xy=y+xy' $$

[Sverest]

Значит в полной производной может быть 2 независимых переменных, а в частной только одна независимая переменная, а остальное константы?

[paha]

Sverest в сообщении #397054 писал(а):

Значи

в полной производной переменная == одна, остальные читаются ее функциями

в частной производной переменная одна, остальные считаются константами

[Munin]

У вас в методичке ещё и обозначения запутывающие. Когда речь идёт о функциях одной переменной, и о полной производной, штрих обозначает производную. То есть $y'=dy/dx,$ $y''=d^2y/dx^2.$ А когда речь идёт о функциях нескольких переменных, и о частных производных, так воспринимать штрих нельзя (иногда бывают обозначения $y'_x,$ но не $y'$), и поэтому $y'$ приходится считать просто какой-то новой переменной.

paha
Страшная догадка: а вдруг методичка - по ОДУ, и обозначения к ЧП вообще никакого отношения не имеют???

[Sverest]

Методичка по вариационному исчислению, как то трудно понимать вариационное исчисление не зная дифференциальные уравнения ))

[Munin]

Ууу. Да. Трудно.

В вариационном исчислении всё ещё круче, чем в функциях нескольких переменных: существует пространство бесконечного числа переменных (пространство функций), и дифференцирование в этом пространстве. Оно и называется взятием вариации.

В этом случае $y(x)$ - это то самое бесконечное множество переменных, вместе взятое, а $y'(x)$ может быть либо оператором от этого бесконечного множества, либо другим, независимым бесконечным множеством - в зависимости от оговорённых в самом начале соглашений.

[Sverest]

Что значит такое обозначение: вертикальная черточка за выражением и нижний индекс к ней $ |_{\alpha=0}$ ?

[Pinkey]

Значит, что нужно на место альфа подставить ноль

[Munin]

Причём только после того, как внутри выражения взяты все производные.