Норма линейного оператора

[BapuK]

Если $\mathcal{A}:E \rightarrow F$ - линейный ограниченный оператор, $E,F$ линейные нормированные пространства, то нормой оператора называют(одно из определений) $\| \mathcal{A}\| = \sup\limits_{\|x\| \leq 1} \|\mathcal{A}x\|$. А теперь собственно сам вопрос: почему в определении нормы супремум можно брать по единичной сфере а не шару, т.е. почему $\| \mathcal{A}\| = \sup\limits_{\|x\| = 1} \|\mathcal{A}x\|?$

[Dan B-Yallay]

Потому что оператор линеен. Пусть $x \in E, \ \|x\| <1,$ тогда существуют $\alpha \in [0,1), \ x_0 \in E: $

$$x=\alpha x_0, \quad \|x_0\|=1 $$

Это значит $\| \mathcal A(x)\| = \|\mathcal A(\alpha x_0)\| = \|\alpha \mathcal A(x_0)\| =\alpha\|\mathcal A(x_0)\|< \|\mathcal A(x_0)\|$
Поэтому супремум по всему шару не превосходит супремума по сфере.

[BapuK]

элементарно же, что-то я сглупил) спасибо)

[AGu]

Занудства ради стоит добавить условие $E\ne\{0\}$.

[BapuK]

Еще вопросик, только теперь про сопряженные операторы.
В гильбертовом пространстве оператор $\mathcal{A}^*$ называется сопряженным к оператору $\mathcal{A}$, если $(\mathcal{A}x, y) = (x, \mathcal{A}^*y)$. Утверждается, что $\|\mathcal{A}\| = \|\mathcal{A}^*\|$. оценку $\|\mathcal{A}^*\| \leq \|\mathcal{A}\|$ получил легко. Обратно не могу. Чувствуется, что нужно использовать одно из следствий теоремы Хана-Банаха о существовании функционала $f$ такого, что $\|f\| = 1$ и для некоторого $x$ выполняется $f(x) = \|x\|$. Подскажите как начать.

[Gortaur]

Чему равно $||\mathcal{A}^* x||$?

[BapuK]

Возможно, имелось ввиду $\|\mathcal{A}^* x\|$, да чему угодно это может быть равно В общем не понятен вопрос.

[Gortaur]

Да, норма - исправил. Запишите определение, чему равна норма такого вектора.

-- Сб янв 08, 2011 19:15:28 --

Подсказка - через скалярное произведение.

[BapuK]

хмм, действительно получается, только немного по-другому:
$\|\mathcal{A}x\|^2 = (\mathcal{A}x, \mathcal{A}x) = (x, \mathcal{A}^*\mathcal{A}x) \leq \|x\| \cdot \|\mathcal{A}^*\|\cdot\|\mathcal{A}x\|,$ откуда $\|\mathcal{A}x\| \leq \|\mathcal{A}^*\|\cdot\|x\| $, ну и тогда получается оценка $\|\mathcal{A}\| \leq \|\mathcal{A}^*\|$
Вроде ошибок нет, спасибо за подсказку

[ewert]

BapuK в сообщении #396651 писал(а):

оценку $\|\mathcal{A}^*\| \leq \|\mathcal{A}\|$ получил легко. Обратно не могу. Чувствуется, что нужно использовать одно из следствий теоремы Хана-Банаха

Какой ещё Хан-Банах в гильбертовом-то пространстве?...

Если существование, единственность и ограниченность сопряжённого оператора (в ограниченном случае) уже доказана, то автоматом получается $(A^*)^*=A$, поэтому достаточно односторонней оценки.