2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение08.01.2011, 23:22 
Аватара пользователя
Здравствуйте, объясните что значат в дифф. уравнениях обозначения $F_{yy}$, $F_{yy'}$, $F_{y'y'}$ ?

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение08.01.2011, 23:25 
Аватара пользователя
Sverest в сообщении #397025 писал(а):
Здравствуйте, объясните что значат в дифф. уравнениях обозначения $F_{yy}$, $F_{yy'}$, $F_{y'y'}$ ?

производные:))

$$
F_{ab}=\frac{\partial^2F}{\partial a\,\partial b}
$$

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение08.01.2011, 23:37 
Аватара пользователя
Можете объяснить как эти производные вычислять на каком нибудь примере, не совсем пойму как это делается

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение08.01.2011, 23:47 
Аватара пользователя
Sverest в сообщении #397030 писал(а):
Можете объяснить как эти производные вычислять на каком нибудь примере, не совсем пойму как это делается

вот если производная по букве $a$:
$$
\frac{\partial F}{\partial a}
$$
то вы числяйте как обычную производную по $a$:
$$
\frac{\partial}{\partial y'}\Bigl(xy^2y'^3-123\cdot xy^2-yy'
\Bigr)=3xy^2y'^2-y
$$
вукомпрене?

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение08.01.2011, 23:50 
Аватара пользователя
Этому отдельно учат. Сначала надо записать функцию в таком виде, чтобы в формуле явно фигурировал параметр, по которому берётся производная (в выше упомянутых случаях - $y,$ $y',$ $a,$ $b$), а все остальные буквы были бы от него независимы, или эта зависимость была бы явно указана. Потом берёте производную точно так же, как просто производную функции, если бы все остальные буквы были константами или функциями от переменной дифференцирования.

Например, если $F=ax^2+bxy+cy^2,$ то
$F_x\equiv\dfrac{\partial F}{\partial x}=2ax+by$
$F_y\equiv\dfrac{\partial F}{\partial y}=bx+2cy$
Вторые производные вычисляются последовательно как производные от первых производных:
$F_{xx}\equiv\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial x}=2a$
$F_{xy}\equiv\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial y}=b$
$F_{yx}\equiv\dfrac{\partial^2F}{\partial y\partial x}=b$
$F_{yy}\equiv\dfrac{\partial^2F}{\partial y\partial y}=2c$
Можно заметить, что $F_{xy}=F_{yx},$ причём на самом деле это всегда так (есть соответствующая теорема), а поэтому неважно, в каком порядке записываются производные по разным переменным. Часто их пишут просто по порядку букв.

P. S. Пока писал, paha раньше успел :-(

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение09.01.2011, 00:03 
Аватара пользователя
Значит если $F=y'^3$, то $F_{y'y'}=6y'$ ?

Почему в методичке написано $\frac{d}{dx} (2y')=2y''$ ? Это разве правильно?

Как быть если попадается $\frac{d}{dx} xy$ надо считать $x$ постоянной или $y$ ?

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение09.01.2011, 00:44 
Аватара пользователя
Sverest в сообщении #397038 писал(а):
Почему в методичке написано $\frac{d}{dx} (2y')=2y''$ ? Это разве правильно?

надо отличать полную производную
Sverest в сообщении #397038 писал(а):
$\frac{d}{dx} (2y')=2y''$

от частной
$$
(2y')_x=\frac{\partial}{\partial x}(2y')=0
$$

-- Вс янв 09, 2011 00:46:43 --

Sverest в сообщении #397038 писал(а):
Как быть если попадается $\frac{d}{dx} xy$ надо считать $x$ постоянной или $y$ ?

это полная производная
$$
\frac{d}{dx} xy=y+xy'
$$

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение09.01.2011, 00:57 
Аватара пользователя
Значит в полной производной может быть 2 независимых переменных, а в частной только одна независимая переменная, а остальное константы?

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение09.01.2011, 01:00 
Аватара пользователя
Sverest в сообщении #397054 писал(а):
Значи

в полной производной переменная == одна, остальные читаются ее функциями

в частной производной переменная одна, остальные считаются константами

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение09.01.2011, 23:47 
Аватара пользователя
У вас в методичке ещё и обозначения запутывающие. Когда речь идёт о функциях одной переменной, и о полной производной, штрих обозначает производную. То есть $y'=dy/dx,$ $y''=d^2y/dx^2.$ А когда речь идёт о функциях нескольких переменных, и о частных производных, так воспринимать штрих нельзя (иногда бывают обозначения $y'_x,$ но не $y'$), и поэтому $y'$ приходится считать просто какой-то новой переменной.

paha
Страшная догадка: а вдруг методичка - по ОДУ, и обозначения к ЧП вообще никакого отношения не имеют???

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение10.01.2011, 21:35 
Аватара пользователя
Методичка по вариационному исчислению, как то трудно понимать вариационное исчисление не зная дифференциальные уравнения ))

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение10.01.2011, 21:55 
Аватара пользователя
Ууу. Да. Трудно.

В вариационном исчислении всё ещё круче, чем в функциях нескольких переменных: существует пространство бесконечного числа переменных (пространство функций), и дифференцирование в этом пространстве. Оно и называется взятием вариации.

В этом случае $y(x)$ - это то самое бесконечное множество переменных, вместе взятое, а $y'(x)$ может быть либо оператором от этого бесконечного множества, либо другим, независимым бесконечным множеством - в зависимости от оговорённых в самом начале соглашений.

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение11.01.2011, 18:46 
Аватара пользователя
Что значит такое обозначение: вертикальная черточка за выражением и нижний индекс к ней $ |_{\alpha=0}$ ?

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение11.01.2011, 18:55 
Значит, что нужно на место альфа подставить ноль

 
 
 
 Re: Объясните обозначения в дифф. уравнениях
Сообщение11.01.2011, 20:28 
Аватара пользователя
Причём только после того, как внутри выражения взяты все производные.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group