Дифференцирование по параметру несобственного интеграла

[Padawan]

И да, в силу аналитичности и равномерной сходимости, можно делать так, как предлагал Gortaur : посчитать $\varphi_\delta'(x)$ по обычному правилу и взять предел при $\delta\to 0$.

$$ \varphi'(x)=\lim\limits_{\delta\to 0}\left(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{\arcsin\frac{x}{2}+\delta}\frac{-1}{2\sin t-x} dt-\ln\left(2\sin(\arcsin\frac{x}{2}+\delta}})-x\right)\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}\right) $$

при $x=0$ получается

$$ \varphi'(0)=\lim\limits_{\delta\to 0}\left(\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_\delta\frac{-1}{2\sin t} dt-\ln\left(2\sin\delta\right)\right) $$