Топология открытых интервалов

[Lazy]

Здравствуйте.
Никак не могу понять, казалось бы, основ топологии, а именно всем известной топологии на вещественной прямой, называемой стрелкой. Дело в следующем:

Пусть X есть луч [0; +беск.), а Ω состоит из пустого множества, X и всевозможных открытых лучей (a; +беск.), где a ≥ 0. Докажите, что Ω - топология.

Для этого, как я понимаю, необходимо доказать выполнение трех аксиом топологической структуры. Вот мое доказательство:
1) Любое объединение множеств из Ω принадлежит Ω. Это очевидно, так как объединение множеств ($a_i$; +беск.) = (inf($a_i$); +беск.)
2) Любое пересечение множеств из Ω принадлежит Ω. Аналогично, так как пересечение множеств ($a_i$; +беск.) = (sup($a_i$); +беск.)
3) Пустое множество и само X содержится в Ω по условию.

Доказано?
Однако, это не есть мой вопрос! Вопрос - почему закрытые интервалы не образуют топологию на вещественной прямой? Указано, что при закрытых интервалах возможен вариант, когда:
[$a_i$; +беск.) = ($a_0$; +беск.)
То есть объединение закрытых интервалов будет открытым интервалом!

Никак не могу понять как такое возможно?! Тем более, что необходимо привести пример. Я бы абсолютно тем же способом, как и в первом случае доказал, что аналогичная предыдущей структура из закрытых интервалов также является топологией, но, очевидно, это неверно. Так как все последующие примеры для топологий на плоскости (открытые круги) и в пространстве (открытые шары) - открытые. Значит и там я совершу ту же ошибку!

Как я понимаю, это какая-то фундаментальная истина топологии, которую я никак не могу понять...

Пожалуйста, разъясните мне, невежде, в чем здесь соль

[paha]

Lazy в сообщении #395546 писал(а):

То есть объединение закрытыхзамкнутых интервалов будет открытым интервалом!

$$ (a,+\infty)=\bigcup_{n\ge 1}[a+\frac{1}{n},+\infty) $$

[Lazy]

Спасибо, я не подумал про сходящуюся последовательность.

Однако, разве не сущ. $inf(a + 1/n)$ при n -> беск.? Или на бесконечности это определяется как асимптотическое приближение (то есть не достигающееся при сколь угодно большом числе, но не равном абстрактной бесконечности), а значит и не включающее граничную точку?

[Виктор Викторов]

Lazy в сообщении #395605 писал(а):

... разве не сущ. $inf(a + 1/n)$ при n -> беск.? Или на бесконечности это определяется как асимптотическое приближение (то есть не достигающееся при сколь угодно большом числе, но не равном абстрактной бесконечности), а значит и не включающее граничную точку?

Давайте попроще. Что такое последовательность ограниченная снизу? Это такая последовательность для которой существует такое число $M$, что каждый член этой последовательности не меньше чем число $M$. Это число $M$ называется нижней границей последовательности. В Вашем случае все числа $M\leqslant a$ являются нижними границами последовательности $\left\{a + \frac 1 n \right\}$ . Например, число $a - \frac 1 {10}$ - нижняя граница Вашей последовательности. Но среди этих нижних границ есть наибольшая. Это и есть точная нижняя граница последовательности или $\inf$. В Вашем случае это число $a$. Все члены Вашей последовательности не меньше чем число $a$. Правда, этот самый $\inf$ обладает специальным свойством: если взять любое число строго больше чем $\inf$, то между $\inf$ и этим числом найдется хотя бы один член Вашей последовательности (на самом деле бесконечное множество таких членов). Всё. Слова «асимптотическое приближение», «абстрактная бесконечность» и «граничная точка» здесь употреблять не надо. Вообще употреблять подобные слова можно и нужно, только хорошо усвоив их определения.

[paha]

Lazy в сообщении #395605 писал(а):

Однако, разве не сущ. $\inf (a + 1/n)$ при n -> беск.?

он существует и равен $a$...

но

paha в сообщении #395560 писал(а):

$$ a\not\in\bigcup_{n\ge 1}[a+\frac{1}{n},+\infty) $$

Это же какая-то теория множеств, а не топология(((

[Lazy]

Кажется разобрался...

Главная засада была в том, что в описании аксиом я пропустил тот факт что рассматривается пересечение конечного числа множеств! Я слово "конечного" даже не заметил, по нескольку раз перечитывая определение... Разумеется, теперь мне, думаю, все понятно.

Все лучи с началом в нек. точке $a \geqslant 0$ и уходящими на $+\infty$ вложены друг в друга, если считать их множествами точек. Возьмем некоторое множество $A$, состоящее из начальных точек лучей. На $A$ можно ввести строгий порядок (если мы не рассматриваем полностью совпадающие лучи), значит можно считать что $A$ - некоторая числовая последовательность. Упорядочим элементы $A$ по возрастанию, начиная с наименьшего $a_0$ (т.к. порядок строгий, то наименьший элемент существует). Тогда: $(a_0; +\infty) \supset (a_1; +\infty) \supset \dots \supset (a_n; +\infty)$, где $a_i \in A$, а $n \in N$.

Далее, объединением множеств будет множество, содержащее элементы, принадлежащий хотя бы одному из объединяемых множеств, а так как лучи вложены, начиная с луча с $a_0$, то:
$\bigcup (a; +\infty) = (\inf(a); +\infty) = (a_0; +\infty)$

Пересечением множеств будет множество, элементы которого принадлежат каждому из пересекаемых множеств, и, так как лучи вложены, это будут элементы луча с началом в "самой правой" точке на вещественной прямой. Так как берем пересечение конечного числа лучей, то $n = Card A$ и конечно. Значит:
$\bigcap (a; +\infty) = (\max(a); +\infty) = (a_n; +\infty)$

Уверен, что теперь все верно!

P.S.: Уважаемый Виктор Викторов, а какие термины я употребил неверно? Возможно, без них можно было бы и обойтись, но почему нет? Когда говорят что $y$ асимптотически приближается к нулю при $y = \frac 1 x$ и $x \to +\infty$ это ведь не вызывает удивления. Хотя всего лишь хотят сказать, что значение функции станет сколь угодно малым (но не равным 0!) при увеличении $x$.

Чем смущает Вас термин «абстрактная бесконечность»? Математическая бесконечность вообще есть лишь способ записать гипотетическое число, большее по модулю чем любое существующее. Не вижу причин не назвать этот символ абстракцией.

Далее, «граничная точка». Специально (чтобы убедиться что я сам еще в здравом уме) залез на Википедию. Привожу определение: Грани́ца мно́жества — это такое множество, что его точки находятся сколь угодно близко как к точкам в множестве, так и к точкам вне множества. Не вижу причин не назвать точку $a$ интервала $(a; +\infty)$ граничной.

paha в сообщении #395850 писал(а):

Это же какая-то теория множеств, а не топология(((

Мне действительно жаль, что задавал такие несложные вопросы, но я только недавно начал самостоятельно изучать топологию, и, конечно, попытка разобраться в самом определении топологического пространства не может не граничить с теорией множеств, и не может не быть простым вопросом. )))

Еще раз огромное спасибо Вам всем за помощь!

[Виктор Викторов]

Lazy в сообщении #395942 писал(а):

Уважаемый Виктор Викторов, а какие термины я употребил неверно? Возможно, без них можно было бы и обойтись, но почему нет? Когда говорят что $y$ асимптотически приближается к нулю при $y = \frac 1 x$ и $x \to +\infty$ это ведь не вызывает удивления. Хотя всего лишь хотят сказать, что значение функции станет сколь угодно малым (но не равным 0!) при увеличении $x$.
Чем смущает Вас термин «абстрактная бесконечность»? Математическая бесконечность вообще есть лишь способ записать гипотетическое число, большее по модулю чем любое существующее. Не вижу причин не назвать этот символ абстракцией.

Меня не смущает термин «абстрактная бесконечность». Я просто не знаю, что это такое. Я знаю что такое актуальная бесконечность и потенциальная бесконечность. Что касается асимптотического приближения, то не совсем понятно к чему оно нам тут?

Lazy в сообщении #395942 писал(а):

Далее, «граничная точка». Специально (чтобы убедиться что я сам еще в здравом уме) залез на Википедию. Привожу определение: Грани́ца мно́жества — это такое множество, что его точки находятся сколь угодно близко как к точкам в множестве, так и к точкам вне множества. Не вижу причин не назвать точку $a$ интервала $(a; +\infty)$ граничной.

Тот факт, что $a$ граничная точка множества членов последовательности нам просто в этом разговоре не нужен. Но у Вас не говорится, что $a$ граничная точка открытого интервала $(a; +\infty)$ (хотя нам этот факт и не нужен), а речь идет о граничной точке собственно чего? Нет ответа. А граничная точка должна быть некоторого множества.

[Lazy]

Виктор Викторов в сообщении #395953 писал(а):

Меня не смущает термин «абстрактная бесконечность». Я просто не знаю, что это такое. Я знаю что такое актуальная бесконечность и потенциальная бесконечность. Что касается асимптотического приближения, то не совсем понятно к чему оно нам тут?

Не понимаю, зачем мы ищем точности формулировки, где всем и так все предельно ясно... Слово "абстрактный" понимайте в прямом смысле. Как "абстракцию". Бесконечность, имел в виду я, есть абстракция. Думаю, очевидно, что если пишут $+\infty$, то сам этот символ недвусмысленно говорит о том, что бесконечность актуальная; если же пишут $x \to +\infty$, то $x$ есть бесконечность потенциальная.

Я уже согласился с Вами, что вместо "асимптотического приближения" и "граничной точки" можно было бы использовать и другие термины! Но не вижу причин, по которым использованные мною термины я употребил ошибочно.

Виктор Викторов в сообщении #395953 писал(а):

...Но у Вас не говорится, что $a$ граничная точка открытого интервала $(a; +\infty)$ (хотя нам этот факт и не нужен), а речь идет о граничной точке собственно чего? Нет ответа. А граничная точка должна быть некоторого множества.

Смысл самой темы форума в том, что я рассматриваю лучи вещественной прямой. Очевидно, любой луч есть бесконечное множество точек. Открытый луч на вещественной прямой есть интервал, имеющий в качестве граничных точек начальную и символ актуальной бесконечности. Правда, не могу быть увереным в том, что символ актуальной бесконечности в точности попадает под определение граничной точки (так как правее $+\infty$ точек уже нет).

Возможно я просто сформулировал тот пост не ахти как удачно, и, полагаю, этот наш спор о терминах есть спор ни о чем, поэтому предлагаю его прекратить .

[Виктор Викторов]

Lazy в сообщении #395965 писал(а):

Не понимаю, зачем мы ищем точности формулировки, где всем и так все предельно ясно... Слово "абстрактный" понимайте в прямом смысле. Как "абстракцию".

Не может быть ясности, если нет точной формулировки. В частности «..."абстрактный" понимайте в прямом смысле. Как "абстракцию".» Это набор слов.

Lazy в сообщении #395965 писал(а):

Бесконечность, имел в виду я, есть абстракция. Думаю, очевидно, что если пишут $+\infty$, то сам этот символ недвусмысленно говорит о том, что бесконечность актуальная; если же пишут $x \to +\infty$, то $x$ есть бесконечность потенциальная.

А не могли бы Вы рассказать, что такое актуальная бесконечность и что такое потенциальная бесконечность?

Lazy в сообщении #395965 писал(а):

Я уже согласился с Вами, что вместо "асимптотического приближения" и "граничной точки" можно было бы использовать и другие термины! Но не вижу причин, по которым использованные мною термины я употребил ошибочно.

Еще раз: "асимптотическое приближение" не нужно, а "граничная точка" не понятно к какому множеству.

Lazy в сообщении #395965 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #395953 писал(а):

...Но у Вас не говорится, что $a$ граничная точка открытого интервала $(a; +\infty)$ (хотя нам этот факт и не нужен), а речь идет о граничной точке собственно чего? Нет ответа. А граничная точка должна быть некоторого множества.

Смысл самой темы форума в том, что я рассматриваю лучи вещественной прямой. Очевидно, любой луч есть бесконечное множество точек. Открытый луч на вещественной прямой есть интервал, имеющий в качестве граничных точек начальную и символ актуальной бесконечности. Правда, не могу быть увереным в том, что символ актуальной бесконечности в точности попадает под определение граничной точки (так как правее $+\infty$ точек уже нет).

Вы не писали об открытом луче. У Вас есть граничная точка, но не видно множества. «Символ актуальной бесконечности» не является граничной точкой и вообще точкой.

[Lazy]

Ну что ж... Могу заняться и бесполезным делом. Извольте:

«..."абстрактный" понимайте в прямом смысле. Как "абстракцию".»
Это не набор слов. Если потрудиться почитать словарь, то: Абстракция — «абстрактное понятие», «абстракт», результат абстрагирования. Абстрагирование — это мысленное выделение, вычленение некоторых элементов конкретного множества и отвлечение их от прочих элементов данного множества. Это один из основных процессов умственной деятельности человека, опирающийся на знаковое опосредствование и позволяющий превратить в объект рассмотрения разные свойства предметов.
Говоря "абстрактная бесконечность" я выделяю лишь нужное мне свойство "число, большее по модулю, чем самое большое". Еще глубже ударяться в философию не стану ни при каких условиях )))

Когда говорят, что некоторая величина потенциально бесконечна, то имеется в виду, что она может быть неограниченно увеличена (как "икс, стремящийся к плюс бесконечности"). Альтернативой является понятие актуальной бесконечности, которая означает, что рассматривается (как реально существующая) величина, не имеющая конечной меры (то есть именно тот "абстрактный объект", о котором я говорил уже выше).

Я писал именно о луче. Открытом. На вещественной прямой. Посмотрите стартовый пост. Во втором абзаце написано что омега состоит из пустого множества, самого X и всевозможных открытых лучей. Луч есть бесконечное множество точек. Открытый луч имеет граничную точку. Где неясность?

[Виктор Викторов]

Lazy в сообщении #395993 писал(а):

Говоря "абстрактная бесконечность" я выделяю лишь нужное мне свойство "число, большее по модулю, чем самое большое".

Мы дожили до определения. Правда, бессмысленного определения. Числа, большего по модулю, чем самое большое не существует.

Lazy в сообщении #395993 писал(а):

Когда говорят, что некоторая величина потенциально бесконечна, то имеется в виду, что она может быть неограниченно увеличена (как "икс, стремящийся к плюс бесконечности"). Альтернативой является понятие актуальной бесконечности, которая означает, что рассматривается (как реально существующая) величина, не имеющая конечной меры (то есть именно тот "абстрактный объект", о котором я говорил уже выше).

Надо меньше читать Википедию и больше математические книжки. Тогда Вам станет ясно, что, говоря: множество натуральных чисел, мы говорим об актуальной бесконечности. А рассматривая предел последовательности, о потенциальной.

Lazy в сообщении #395993 писал(а):

Я писал именно о луче. Открытом. На вещественной прямой. Посмотрите стартовый пост. Во втором абзаце написано что омега состоит из пустого множества, самого X и всевозможных открытых лучей. Луч есть бесконечное множество точек. Открытый луч имеет граничную точку. Где неясность?

Неясность в том, что в математической литературе принято, написав «граничная точка», дополнить для какого множества она граничная. И я не вижу в том излишества.

Ещё один момент.

Lazy в сообщении #395965 писал(а):

Открытый луч на вещественной прямой есть интервал, имеющий в качестве граничных точек начальную и символ актуальной бесконечности. Правда, не могу быть увереным в том, что символ актуальной бесконечности в точности попадает под определение граничной точки (так как правее $+\infty$ точек уже нет).

Символ $+\infty$ означает, что для любого числа в этом множестве есть большее. Сам символ $+\infty$ числом (точкой) не является. Если же Вы говорите о расширенной числовой прямой, то об этом надо объявить. Там игры другие (и топология тоже другая).

[paha]

Виктор Викторов в сообщении #395953 писал(а):

Я знаю что такое актуальная бесконечность и потенциальная бесконечность

заслуживает отдельной темы)))

Я тоже где-то встречал эти термины... сначала у Гегеля, а потом в диамате

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #396101 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #395953 писал(а):

Я знаю что такое актуальная бесконечность и потенциальная бесконечность

заслуживает отдельной темы)))

Я тоже где-то встречал эти термины... сначала у Гегеля, а потом в диамате

Упаси нас Боже! Встречал я это, по моему, у Френкеля. Идея такая (если не вру): Рассматриваем бесконечное множество - актуальная бесконечность (вот оно!). Рассматриваем последовательность, имеющую конечный предел: для каждой окрестности этого предела есть конечное число элементов вне этой окрестности (трем себе нос: где тут нечто бесконечное) - это потенциальная бесконечность. К сожалению, не помню где читал.

[JMH]

Lazy, у меня к Вам вопрос: Вы разобрались, почему топология (структура) строится из открытых множеств, а не из замкнутых?

[paha]

JMH в сообщении #396117 писал(а):

у меня к Вам вопрос: Вы разобрались, почему топология (структура) строится из открытых множеств, а не из замкнутых?

топология строится из множеств, которые мы называем открытыми... так что ответ на Ваш вопрос таков: по определению