Линейная оболочка степеней матриц

[caxap]

В линейном пространстве квадратных матриц порядка $2$ содержится линейная оболочка матриц $A^k$, $k=0,\ldots,100$. Найдите размерность этой линейной оболочки для матрицы

$$A=\begin{pmatrix}7&9\\8&5\end{pmatrix}\,.$$

Задачка в теме про собственные значения и векторы. У матрицы два действительных различных с. з., поэтому она подобна диагональной матрице $D$, а степень диаг. матрицы $D^k=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2)^k=\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\lambda_2^k)$. Но три вопроса:
1) линейная оболочка диагональных матриц $D^k$, наверное, не то же, что линейная оболочка $A^k$. И не могу придумать причин, чтобы размерности их были равны.
2) если названные размерности равны, то всё равно не понимаю, как найти даже размерность $\operatorname{span}\{D^k\}$.
3) может я вообще не туда думаю?

[MaximVD]

Довольно простое решение задачи можно получить, используя теорему Гамильтона-Кэли. Подумайте в этом направлении.

[caxap]

MaximVD
Что-то не соображу. Как её вообще можно привязать к задаче?

---------
Я что-то сразу в собственные значения полез, а ведь нужно-то найти размерность линейной оболочки, то есть ранг системы векторов $\{A^k\}$. А ранг системы векторов можно найти как ранг матрицы, составленной из их координат (если записать матрицу "в строчку"). Тогда больше 4-х ранг быть не может. Только вот искать ранг матрицы из 100 строк, да ещё и сами строки получить трудновато. Я наудачу взял первые 4 вектора $A^0,...,A^3$. Их ранг только 2
Наверное и вправду обходным путём надо идти.

[mihailm]

теорему Гамильтона-Кэли просто запишите для этой матрицы

[caxap]

$\chi(\lambda)=\lambda^2-12\lambda-37$, $\chi(A)=A^2-12A-37E=O$. Всё равно не пойму, что из этого следует

[Null]

Ну вы нашли линейную зависимость между $A^k$
Можно еще так
$A^k=(C^{-1}DC)^k=C^{-1}D^kC$ и так как $C$ - невырожденная Размерности пораждаемых $A^k$ и $D^k$ совпадают.

[caxap]

Null в сообщении #395837 писал(а):

Ну вы нашли линейную зависимость между $A^k$.

Там же только $A^2$ и $A$

Null в сообщении #395837 писал(а):

$A^k=(C^{-1}DC)^k=C^{-1}D^kC$ и так как $C$ - невырожденная Размерности пораждаемых $A^k$ и $D^k$ совпадают.

Ну я так изначально и хотел. Очевидно, $\dim\operatorname{span}\{D^k\}=2$ ($D$ -- диагональная матрица), но то, что это равно $\dim\operatorname{span}\{A^k\}$ для меня вовсе не очевидно.

-- 06 янв 2011, 00:09 --

А... Если рассматривать матрицы в базисе $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$, ..., $\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$, то после перехода в базис собственных векторов, матрицы станут диагональными. А размерность оболочки в любом базисе будет та же. Так?

С Гамильтоном--Кэли тоже хочу разобраться.

[Dan B-Yallay]

caxap писал(а):

...С Гамильтоном--Кэли тоже хочу разобраться....

...Что-то не соображу. Как её вообще можно привязать к задаче?

...$\chi(A)=A^2-12A-37E=O.$Всё равно не пойму, что из этого следует

...Там же только $A^2$ и $A$

A из этого следует, что любой полином $P(A)$ степени $n$ можно путем добавления/отнимания соответствующих степеней $A^k$ свести к биному вида $\alpha A+\beta E$ . Например вот так:

$$\begin{align*}A^4+A^3+A^2+A+E &= A^4 \textcolor{blue}{-12A^3-37A^2}+ \textcolor{red}{12A^3+37A^2}+A^3+A^2+A+E\\ &=A^2\underbrace{\textcolor{violet}{(A^2-12A-37E)}}_{=0}+13A^3+38A^2+A+E \\ &=13A^3+38A^2+A+E\\ &=13(A^3\textcolor{blue}{-12A^2-37A})+\textcolor{red}{13(12A^2+37A)}+38A^2+A+E\\ &=13A\underbrace{\textcolor{violet}{(A^2-12A-37E)}}+...\\ &...\\ &=\alpha A + \beta E \end{align*}$$

Заполнить пропущенное ?

Размерность множества $\alpha A+\beta E$ вы наверняка знаете.

[caxap]

Dan B-Yallay в сообщении #395862 писал(а):

свести к биному вида $\alpha A+\beta E$

А это как можно доказать?

[mihailm]

мда,
тогда так $A^2$ выражается (линейно) через А и Е?
Следующий вопрос $A^3$ выражается (линейно) через А и Е?

[caxap]

Дошло.

Я так понял, что в случае произвольной $A\neq O$ мы получим либо либо 1-мерную, либо 2-мерную оболочку?

[mihailm]

логично)

[Null]

Да. У $n$-мерной матрицы ответ не больше $n$

[caxap]

Спасибо.