найти неопределенный интеграл

[marischkin]

\int\frac{x^{3}dx{x^{2}+2x+1}
Я разделила числитель на знаменатель:
x-\frac{2x^{2}+x}{x^{2}+2x+1
если неправильно, помогите

[Dan B-Yallay]

Пока все вроде правильно. надо дальше делить чтобы степень в числителе была меньше степени знаменателя.

[maxmatem]

Так лучше
$\[ \int {\frac{{x^3 dx}} {{x^2 + 2x + 1}}} = \int {\left( {x - \frac{{2x^2 + x}} {{x^2 + 2x + 1}}} \right)} dx = ... \] $
теперь дробь ещё раз поделите ....и дальше совсем будет просто

[marischkin]

У меня получилось\int x-2+\frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}
Дальше не знаю, как разложить знаменатель на произведение

[Day]

marischkin в сообщении #395805 писал(а):

У меня получилось\int x-2+\frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}
Дальше не знаю, как разложить знаменатель на произведение

А и не надо дальше ничего разлагать.
$(3x+2)/(x+1)^2 = A/(x+1) +B/(x+1)^2$
И все будет хорошо, уверяю вас!

-- Ср янв 05, 2011 23:49:35 --

Это называется "Разложение на простейшие дроби"
В Гугле вам помогут.

[Dext]

Или так

\[\begin{aligned}\frac{x^3}{x^2+2x+1}&=\frac{x^3+1-1}{x^2+2x+1}=\frac{(x+1)(x^2-x+1)-1}{(x+1)^2}=\\&=\frac{x^2-x+1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{x^2-1-(x+1)+3}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}=\\&=\frac{(x-1)(x+1)-(x+1)+3}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}=\\&=x-2+\frac{3}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\end{aligned}\[

[Алексей К.]

marischkin,

Вам остаётся окружить Ваши формулы типа
\int\frac{x^{3}dx}{x^{2}+2x+1} долларами:
$\int\frac{x^3 dx}{x^2+2x+1}$. Тогда и получится $\int\frac{x^3 dx}{x^2+2x+1}$.

[marischkin]

Я подставила х=-1, В=1; х=0, А=2 Правильно?

[ewert]

Какая-то чёрно-зелёная магия.

Шаблон говорит: во-первых, тупо разделить икс в кубе на знаменатель уголком. Безо всяких там промежуточных преобразований. Во-вторых, разложить на простейшие.

Грамотные же люди плюнут на шаблон и попросту (заметив, что в знаменателе стоит полный квадрат) сделают замену $x+1=t$, после которой всё уж совсем станет очевидным.