Не решая уравнение, можно что-то сказать про его решение

[fara2]

Люди добрые, помогите мне, пожалуйста, очень прошу помочь!!!!
Такой вопрос мне задал препод.
$y'=x*y^2, y(0)=1 , x \in [0,1]$
Не решая уравнение , можно что-то сказать про $y(x)$

[paha]

fara2 в сообщении #395334 писал(а):

Не решая уравнение , можно что-то сказать про $y(x)$

можно

[fara2]

Спасибо огромное за ответ, а что именно, я никак не пойму?
Липшивевость функции?
Пожалуйста, разъясните ситуацию, очень Вас прошу помочь.

[mihailm]

а рисовать изоклины это решая или нет?)

[alisa-lebovski]

Ну, например, можно точно сказать, что решение будет положительным.
Это считается?

[paha]

alisa-lebovski в сообщении #395344 писал(а):

Ну, например, можно точно сказать, что решение будет положительным.

точно -- возрастающим... отсюда и положительность

-- Вт янв 04, 2011 22:14:30 --

fara2 в сообщении #395342 писал(а):

Липшивевость функции?

да, конечно... из этого следует существование решения:)

[fara2]

Спасибо огромное за участие и ответы всем. Не надо строить изоклины, надо, не решая уравнение, определить каким будет решение, по-видимому ,чем ограничено решение y(s).

Цитата:

точно - возрастающим... отсюда и положительность

Я не понимаю, объясните пожалуйста.
то есть вот только наверное Липщевость?
т.е. ограниченность например?
то есть решение будет ограничено [-1,1] по y?
$|A(y+ \Delta y)-A(y)|=|s y^2+2sy(s)*\Delta y+\Delta y^2-s y^2|<=s|2y \Delta y|+s{\Delta y }^2 $
s положительный, поэтому вытащила за модуль.
Наверное, препод вот это хочет от меня, но чтобы дальше оценивать, нужно определить чем ограничен y(s)(а это видно из уравнения, как, не знаю)? а я никак не могу понять, соррри, пожалуйста, помогите. Очень прошу помочь.

[alisa-lebovski]

Ну, на отрезке $[0,1]$оно ограничено снизу решением уравнения $y'=x$, а сверху - решением уравнения $y'=y^2$ (которое, кстати, уходит на бесконечность), с тем же начальным условием.

[paha]

alisa-lebovski в сообщении #395375 писал(а):

Ну, на отрезке $[0,1]$оно ограничено снизу решением уравнения $y'=x$, а сверху - решением уравнения $y'=y^2$ (которое, кстати, уходит на бесконечность), с тем же начальным условием.

Вы думаете, другие уравнения можно решать?

-- Вт янв 04, 2011 23:58:22 --

fara2 в сообщении #395365 писал(а):

то есть решение будет ограничено [-1,1] по y?

что значит "ограничено [-1,1] по y"???

[alisa-lebovski]

Не знаю. По-моему, сама постановка вопроса дурацкая.

[fara2]

то есть решение будет ограничено [-1,1] по y?
$|A(y+ \Delta y)-A(y)|=|s y^2+2sy(s)*\Delta y+\Delta y^2-s y^2|<=s|2y \Delta y|+s{\Delta y }^2 $
s положительный, поэтому вытащила за модуль.
Далее, тк, $s \in [0,1]$, то продолжаем оценивание...
$s|2y \Delta y|+s{\Delta y }^2<= |2y \Delta y|+{\Delta y }^2$
Под вопросом $y(0)=1$ как применить дальше.
Дело в том, что препод спросил, может,не решая уравнение, существовать $y(1)=100$?
Я должна понять, помогите плиз. Вопрос дурацкий, быть может, но мне очень нужно.
Может это и связано с Липшевостью, или я как бы пытаюсь построить Липшевость.(всего скорее второе)

Очень прошу помочь.

[mihailm]

Вообще то y(1)=2

[fara2]

так, но как ты нашел, решил, потом поставил, так нельзя для препода.
Ему надо , чтобы я ,не решая , определила...
Пожалуйста, помогите.

[Gortaur]

1. Липшицевость очевидна из того, что справа в уравнении гладкая функция - то есть у решения будет гладкая (а нам нужна всего-то непрерывная) производная - следовательно липшицевость на любом отрезке.
2. справа неотрицательная функция - то есть производная неотрицательна - то есть функция неубывает.
3. чтобы ограничить функцию сверху на отрезе $[0,1]$ можно например вместо $x$ подставить наибольшее значение (в Вашем случае это справедливо) - тогда решение исходной системы будет лежать ниже решения уравнения $y'=y^2$.

[fara2]

спасибо огромное за внимание, подтверждено , что, я кажись ,иду в правильном направлениии.
Но нужно ограничить константами, как я представляю, конечный результат должен быть ограничен .....$|A(y+\Delta y)-A(y)|<=...<=2*|\Delta y|$
Как не знаю.... Помогите, плиз.