Решите эту тригонометрические уравнения

[CrypticMath]

привет,

Решить уравнение $\cos^n x - \sin^n x = 1$, где $n$ натуральное число.

Я не совсем уверен, как решить эту проблему. Логарифмы не похоже на работу.

$\displaystyle 1^n\, -\, 0^n\, =\, 1$
$\displaystyle n\: \log\: 1\: -\: n\: \log\: 0\: =\: \log\: 1$
$\displaystyle n\: \log\: (1 - 0)\: =\: \log\: 1$
$\displaystyle n\: \log\:(1)\: =\: \log\: 1$
$\displaystyle n\: =\: \frac{\log 1}{\log 1}$
$n\: =\: \infty$

$\displaystyle 0^n\, -\, (-1)^n\, =\, 1$
$\displaystyle 0^n\, +\, 1^n\, =\, 1$
$\displaystyle n\, \log\, 0\, +\, n\, \log\, 1\, =\, \log\, 1$
$\displaystyle n\, \log\,(0\, +\, 1)\, =\, \log\, 1$
$\displaystyle n\, \log\,(1)\, =\, \log\, 1$
$\displaystyle n\, =\, \frac{\log 1}{\log 1}$
$\displaystyle n\; =\; \infty$

[Sonic86]

(Оффтоп)

you may speak english

Случаи $n=1;2$ можно рассмотреть отдельно.
Случай $n=2k$ простой.
В случае $n=2k+1$ можно сделать замену $t=-x$ и потом попытаться использовать основное тригонометрическое тождество.
Пробуйте.

[sup]

Да уж .... На всякого мудреца довольно простоты. Как насчет того, что при $n>2$

$$|\cos^n(x)| \leqslant \cos^2(x),|\sin^n(x)| \leqslant \sin^2(x) $$

И равенства возможны только в очень "специфических" точках.

[Хорхе]

sup, а теперь, пожалуйста, расскажите, как это применить в данной задаче

CrypticMath, you can ask in English here. Answers might be in Russian, but it would be better if you google translate them to English rather than your question to Russian.

[sup]

$|\cos^n(x)-\sin^n(x)| \leqslant |\cos^n(x)| + |\sin^n(x)| \leqslant \cos^2(x) + \sin^2(x) =1$
Продолжить?

[Хорхе]

Чёт туплю, ага . Думал, это только для четных работает.

[sup]

Стараюсь быть нейтральным в своих комментариях. Но здесь показалось очевидным. Если кого то задел своими словами - приношу извинения.

[Gortaur]

(Оффтоп)

как Вы догадались, что он англоязычен? и почему при этом ответы пишите на русском?

[Mathusic]

Правда, надо ещё отдельно случай $n=1$ рассмотреть.
P.S. Задачка с 3-ей IMO1961 года.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #393703 писал(а):

как Вы догадались, что он англоязычен?

Типичные ошибки перевода, специфика набора логарифмов и пр.. Тривиально!

[ИСН]

(Оффтоп)

Апатамушта надо платить внимание мелочам. Фраза "Логарифмы не похоже на работу" делает смысл только в том случае, если перевести её туда и обратно.
Что-то в последние дни много англоязычных товарищей возникло из тонкого воздуха. Нас кто-то прорекламировал?

[Gortaur]

arseniiv в сообщении #393781 писал(а):

Gortaur в сообщении #393703 писал(а):

как Вы догадались, что он англоязычен?

Типичные ошибки перевода, специфика набора логарифмов и пр.. Тривиально!

А, ну логарифмы я и сам так теперь пишу, и задачу тоже иногда проблемой оговариваюсь, потому и не заметил. Забываю русский Но все равно не понимаю, почему Вы ему на английском не отвечаете?
2ИСН
перевел туда-обратно, результат один и тот же.

[paha]

Gortaur в сообщении #393799 писал(а):

перевел туда-обратно, результат один и тот же

a person, no кновинг инглиш, написал по-аглiцки в гoogle... и перевел на русский

[arseniiv]

(Оффтоп)

Gortaur в сообщении #393799 писал(а):

Но все равно не понимаю, почему Вы ему на английском не отвечаете?

Я? Я тут до объясняющего сообщения вообще не писал.

[CrypticMath]

Sonic86 в сообщении #393675 писал(а):

(Оффтоп)

you may speak english

Случаи $n=1;2$ можно рассмотреть отдельно.
Случай $n=2k$ простой.
В случае $n=2k+1$ можно сделать замену $t=-x$ и потом попытаться использовать основное тригонометрическое тождество.
Пробуйте.

(Оффтоп)

Ты понял от моего поста что мои русский знание ужасные. Xa xa!

I'm not fully understanding your approach.
Should mathematical induction be used?

BTW: Why is my initial approach incorrect?

-- Thu Dec 30, 2010 22:47:56 --

Mathusic в сообщении #393754 писал(а):

Правда, надо ещё отдельно случай $n=1$ рассмотреть.
P.S. Задачка с 3-ей IMO1961 года.

Yes, it is indeed a 1961 IMO problem.
It seemed fairly elementary, so I tried it. It has proven to be difficult for me.