Trigonometric equation

[man111]

(1) Calculate value of $x$ in$sinx+\frac{1}{2}sin2x+\frac{1}{3}sin3x+\frac{1}{4}sin4x = \frac{2}{3}(cosx+1)(sin^5x+4)$

(2) If $sinA+sinB+sinC = 0$ and $cosA+cosB+cosC = 0$.Then prove That $sin2A+sin2B+sin2C = cos2A+cos2B+cos2C=0$(Using Complex no.)

(3) If $sin x + sin2x + sin3x= 1$, then $cos6x-4cos4x+8cos2x =$

[mihiv]

(2)
$z_1=e^{iA},z_2=e^{iB},z_3=e^{iC}.$Из условия следует:$S_1=z_1+z_2+z_3=0.$Будем рассматривать комплексные числа $z_i$ как двумерные векторы,они очевидно неколлинеарны,поэтому можем считать,что углы между векторами и положительным направлением оси $x$ удовлетворяют неравенствам:$0\leqslant A<B<C<2\pi.$
Складывая векторы по правилу параллелограмма, получим,что $B=\frac {2\pi }3+A,C=A+\frac {4\pi }3.$Отсюда

$$S_2=e^{i2A}+e^{i2B}+e^{i2C}=e^{i2A}+e^{i(2A+\frac {4\pi }3)}+e^{i(2A+\frac {2\pi }3)}=e^{iA}S_1=0$$

[paha]

1) Note that the left hand side is divided to $1+\cos{x}$

2) The conditions means that $e^{iA}+e^{iB}+e^{iC}=0$

[ewert]

man111 в сообщении #393410 писал(а):

(3) If $sin x + sin2x + sin3x= 1$, then $cos6x-4cos4x+8cos2x =$

= $-7.00041139270414$ или $4.95446633652830$

[man111]

Thanks to all....

can anyone explain me the 2,3 and 4th line of mihiv.

Thanks.

[paha]

man111 в сообщении #393801 писал(а):

can anyone explain me the 2,3 and 4th line of mihiv.

he represents complex numbers $e^{iX}$ as vectors of the unit length, so pairwise angles must be (you can probably guess...)