Некомпактность единичного шара в l2

[cannoneer]

Требуется показать, что единичный шар в $l^2$ некомпактен.

В одном задачнике используются $\epsilon$-перпендикуляры для решения (точнее, в указаниях к задаче написано про другую задачу, где показывается существование $\epsilon$-перпендикуляров к шару, но не более того), но с тем решением я не смог разобраться. Есть ли какое-то более простое решение, уже разобранное в каком-либо учебнике?

[maxmatem]

от противного.

[moscwicz]

cannoneer в сообщении #392594 писал(а):

Требуется показать, что единичный шар в $l^2$ некомпактен.

Докажите, что последовательность элементов стандартного ортонормировыанного базиса в $l^2$ не содержит сходящуюся подпоследовательность

[ewert]

moscwicz в сообщении #392603 писал(а):

Докажите, что последовательность элементов стандартного ортонормировыанного базиса

Да зачем базис-то. Вполне достаточно того, что вообще ни одна ортонормированная последовательность (бесконечная) не может быть быть предкомпактной в принципе -- ведь любая пара её элементов отделена друг от друга на фиксированное расстояние.

[moscwicz]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #392606 писал(а):

moscwicz в сообщении #392603 писал(а):

Докажите, что последовательность элементов стандартного ортонормировыанного базиса

Да зачем базис-то. Вполне достаточно того, что вообще ни одна ортонормированная последовательность (бесконечная) не может быть быть предкомпактной в принципе -- ведь любая пара её элементов отделена друг от друга на фиксированное расстояние.

Так я Вас понимаю как педагога и не спорю. В математике для того чтоб доказать некомпактность достаточно предъявить одну последовательность без предельных точек, а в педагогике нужно много таких последовательностей предъявить. Ну чтоб убедительнее вышло.

[ewert]

(Оффтоп)

moscwicz в сообщении #392616 писал(а):

Так я Вас понимаю как педагога

А я как раз ни разу и не педагог. Ну нету у меня такого образования, ну что тут поделаешь. Жизненный опыт -- это уж совсем другое дело.