Задача на полиномиальное распределение

[terver2008]

Помогите разобраться!

Вероятность появления события в каждом из $n$ опытов одинакова и равна $p$. Доказать, что производящей функцией для вероятностей появления события менее $n-m$ раз является функция $G(u)=\frac{(p+qu)^n}{1-u}$.

Указание: разложить в ряд $(1-u)^-^1$, найти коэффициент при $u^m$.



Разложение очевидно $\frac{1}{1-u}=\sum_{i=0}^n u^m, c_{m} = 1$. И что нам это дает? Не совсем понимаю, надо воспользоваться формулой полиномиального распределения (для случая, если событие произошло ровно какое-то число раз)? Т.е. по сути надо искать вероятность обратного события, $sum_{i=0}^m (1-p)^m$? И откуда вообще берется q, непонятно, что это такое.

[Gortaur]

У меня два варианта насчет $q$. Либо это сопряженное число $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$ либо что более вероятно это $1-p$.

[terver2008]

Да, наверняка. Я как-то не подумал. Спасибо.

Только вот какой смысл имеет $p+qu$? Знаменатель вроде бы понятно откуда берется, как раз из той суммы для противоположных событий.

[Gortaur]

Честно, я не знаю что такое производящая функция разве что это $E[e^{u\xi}]$ для случайной величины $\xi$.

[terver2008]

Вообще мне всегда казалось, что производящая функция в тервере - просто степенной ряд с коэффициентами, равными вероятности наступления события за число испытаний, равных степени переменной ряда. Просто я туплю, не понимаю, откуда берется $p+qu$.

[--mS--]

terver2008 в сообщении #392267 писал(а):

Помогите разобраться!

Вероятность появления события в каждом из $n$ опытов одинакова и равна $p$. Доказать, что производящей функцией для вероятностей появления события менее $n-m$ раз является функция $G(u)=\frac{(p+qu)^n}{1-u}$.

Указание: разложить в ряд $(1-u)^-^1$, найти коэффициент при $u^m$.

Во-первых, синее "менее" следует читать как "не более", иначе п.ф. не совсем такая. Во-вторых, Вы поняли указание иначе, чем имел в виду его автор :) Коэффициент при $u^m$ следует найти у функции $G(u)$. Для этого, например, числитель можно разложить в ряд тоже и перемножить с рядом $(1-u)^-^1$. Кстати, этот последний ряд никак не может быть конечным.

Зачем следует искать коэффициент в предполагаемой п.ф. при $u^m$? Ясно, зачем: чтобы показать, что он равен вероятности "появления события менее не более $n-m$ раз". Эту вероятность следует вычислить.