Уравнение с параметром

[Липин Сергей]

При каких значениях параметра $a$ существует один единственный корень уравнения $0,2x^5-ax^3+3x+b=0$ при любых значениях параметра $b$?

[vbn]

Что значит "один единственный" корень?
Имеется ввиду корень кратности 5 или
наличие единственного действительного корня (остальные — комплексные)?

[Kuzya]

Функция должна быть монотонна, следовательно, ее производная не имеет дествительных корней

[незваный гость]

vbn писал(а):

Имеется ввиду корень кратности 5 или

Корень кратности 5 не может быть при любых значениях $b$. Похоже, автор имеет в виду единственное действительное решение.

Kuzya писал(а):

Функция должна быть монотонна, следовательно, ее производная не имеет дествительных корней

Отчего же, пусть имеет. Главное, чтобы не было перемен знака производной.

[Липин Сергей]

Имеется ввиду корень кратности 5 (задача - из абитуриентских экзаменов).

[Юстас]

Исследуйте локальные экстремумы, точнее минимумы - если все они больше нуля, то будет только один действительный корень. Про корень кратности 5 вряд ли бы спрашивали.

[Руст]

Если при любых b, то производная $x^4-3ax^2+3$ должна быть больше нуля (иначе можно выбрать b, чтобы корней было больше, что дает решение $D=9a^2-12<0, \ |a|<\frac{2}{\sqrt 3 }.$

[bot]

Точнее $t^2-3at+3$ должно быть неотрицательным при неотрицательных $t$. Это означает либо $D\le 0$ либо абсцисса вершины неположительна.

Ответ: $a\ge -\frac{2}{\sqrt3}$

[Руст]

С уточнением согласен, только ответ должен быть $a\le\frac{2}{\sqrt 3 }.$

[bot]

А, ну да - сказал же неположительна.