Найти отображение области на верхнюю полуплоскость

[Xoma]

Помогите пожалуйста разобраться с решением примера
решение из Боярчука
Найти отображение области(луночки) $G=\{|z|>2,|z-\sqrt{2}|<\sqrt2\}$ на верхнюю полуплоскость
Там значит они находят точки пересечения окружностей
$z_1=\sqrt2-i\sqrt2$
$z_2=\sqrt2+i\sqrt2$
А далее пишут :
Функция $w_1=\frac{z-z_1}{z-z_2}, w_1(2)=\frac{(\sqrt2-1)(-1+i)}{2-\sqrt2},w_1(\sqrt2)=i$
отображает луночку G на внутренность угла $\frac{\pi}{2}<argw_1<\frac{3\pi}{4}$(Откуда они это взяли?Почему именно на внутренность такого угла??)
Почему они берут w именно от 2 и $2\sqrt2$ ??
И еще почему-то когда я их подставил у меня не получилось их равенство
и почему у них общий вид получился именно такой $w_1=\frac{z-z_1}{z-z_2}$
Ответе пожалуйста,никак не могу разобраться очень скоро сдавать всё

[ewert]

Xoma в сообщении #390693 писал(а):

Функция $w_1=\frac{z-z_1}{z-z_2}, w_1(2)=\frac{(\sqrt2-1)(-1+i)}{2-\sqrt2},w_1(\sqrt2)=i$
отображает луночку G на внутренность угла $\frac{\pi}{2}<argw_1<\frac{3\pi}{4}$(Откуда они это взяли?Почему именно на внутренность такого угла??)
Почему они берут w именно от 2 и $2\sqrt2$ ??

Эта функция придумана так, чтобы первую точку пересечения она переводила в ноль, вторую -- в бесконечность. Т.е. вторая вершина лунки разрывается, и лунка тем самум превращается в угол с раствором 90 градусов (т.к.именно таким был угол при первой вершине до преобразования, а измениться он не может). Вопрос лишь в том, куда эти лучи (выходящие из образа первой вершины, т.е. из начала координат) направлены; для его выяснения они и подставляют те точки. Корень из двух до преобразования лежал внутри лунки на прямой, соединяющей вершины, причём обе окружности пересекаются с этой прямой под одинаковыми углами. Значит, и после преобразования будет так же, т.е. образ корня из двух лежит на биссектрисе угла. А поскольку этот образ оказался равным мнимой единичке -- биссектрисой будет положительная мнимая полуось, и с картинкой всё ясно. (Зачем подставляют ещё и двойку, лежавшую на правой дуге -- не знаю, может, шаблон там у них какой; фактически это не нужно.)

-------------------------------------------
А, сообразил, зачем. Действительно, шаблон. Они подставляют корень из двух как просто некую внутреннюю точку, даже и не задумываясь о соображениях симметрии. А затем двойку -- чтобы зафиксировать положение одного из лучей, после чего положение второго определяется уже автоматически.