Теорема Коши-Липшица

[TheDark1]

Господа, очень прошу объяснить как пользоваться теоремой Коши-Липшица.
У меня есть задание:
Пользуясь теоремой Коши-Липшица, исследовать вопрос существования и единственности решения задачи Коши
$ \left\{ \begin{array}{l} y'=x^4|y|ln(1+y^2)+cos x,\\ y(x_0)=y_0, (x_0, y_0)\in R^2 \end{array} \right. $
Но выполнить я его не могу, т.к. не умею пользоваться теоремой. Объясните пожалуйста поподробней, что мне нужно делать. Или дайте пример. Заранее спасибо

[ИСН]

проверить кошевость и липшицевость

[TheDark1]

Знаете, сейчас вот совсем не до шуток.

[SpBTimes]

Напишите теорему, раз вы её знаете

[TheDark1]

Должны быть выполнены условия:
1)$f(x,y)\in C(D), M_0(x_0, y_0)\in D$
2)$\left\{|x-x_0|<a, |y-y_0|<b\right\} =$ Прямоугольник. П$\subset D$
3)$max f(x,y)=M$
4)В П выполняется условие Липшица.

Тогда существует и при том единственно решение задачи Коши.

Условие Липшица:
$f(x,y)$ непрерывна в $R^2$
$|f(x,y')-f(x,y)|<k|y-y'|$

[SpBTimes]

Ну и по пунктам:
1) выполняется, никаких разрывов.
и так далее.
У вас очень хорошая функция. А Липшиц с Коши говорят, что если всё хорошо, то всё замечательно.
А если уж всё замечательно, то тут и Липшиц с Коши помалкивают

[TheDark1]

Да я понимаю, что по пунктам. Я не понимаю, например, как проверить выполнение условия Липшица и как написать прямоугольник там или нет. Я обычно делаю задания по аналогии, но для этой нигде не могу найти примера, а так до меня, пока что, не доходит.

[SpBTimes]

А вспомните, была в анализе такая теорема Лагранжа. Что там она говорила?
$f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$
Вот у Липшица этим и воспользуйтесь

[TheDark1]

Ну да, теорема такая была. Говорила она, что существует такая точка $c\in (a,b)$ , что верно равенство, которое Вы написали, если функция дифференцируема и непрерывна на $(a,b)$. Только причем тут она?

[SpBTimes]

Ну а как вы будете доказывать Липшица? Там стоит загадочная буква С. Она намекает, не?

[TheDark1]

Ох... не доходит до меня... даже не доползает

[SpBTimes]

Печаль..

[Gortaur]

Не знаю, зачем там прямоугольники - но к слову о липшицевости. Если функция $f(x,y)$ липшицева, то уравнение $y'=f(x,y)$ имеет единственное решение задачи Коши насколько я помню. Теперь о том, как проверить липшицевость.
Если $f(x,y)\in C^1(\mathbb{R}^2)$, то следует локальная лишицеовсть (по крайней мере на каждом ограниченном прямоугольнике это условие будет выполняться).
Если у Вас функция $f$ теряет гладкость в каких-либо точках (например, |y| не гладок в нуле), то нужно взять любую окрестность плохой точки и доказать, что функция там лишицева по определению (то есть оценить $|f(x',y')-f(x'',y'')|$ через $C\sqrt{(x'-x'')^2+(y'-y'')^2}$).

[SpBTimes]

Gortaur
там Липшицевость по одной переменной.
Собственно, мы этим и занимались

[TheDark1]

Ладно... можно закрываться.