Найти предел

[RNT]

Помогите, пожалуйста, найти предел. Я раскрыл скобки под знаком корня, но не знаю, что делать далее. Хотя, возможно, не нужно было раскрывать скобки.
$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt[3]{{{x^3} - 3{x^2} + 4}} - x} \right)\]$

[SpBTimes]

Домножьте на сопряжённое. На неполный квадрат суммы

[ewert]

Угу. А если по Тейлору -- так минус единичка просто в уме получается.

(никогда не понимал, почему модно именно в этой теме мучать детей разностями кубов)

[SpBTimes]

ewert
так Тейлор то позже обычно идёт.

[RNT]

SpBTimes в сообщении #389949 писал(а):

Домножьте на сопряжённое. На неполный квадрат суммы

Так ?

$$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt[3]{{\frac{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{{x^2} + 2x + 4}}}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt[3]{{\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {{x^3} - 8} \right)}}{{{x^2} + 2x + 4}}}} - x} \right)\]$$

Что делать дальше ? Подкоренное выражение стремится к бесконечности. $x$ тоже стремится к бесконечности. $\[\infty - \infty \]$ как такое решить ?
P.S. Тейлора я еще не проходил.

[SpBTimes]

Нет. домножьте и поделите на
$\sqrt[3]{((x + 1)(x + 2)^2)^2} + x*\sqrt[3]{(x + 1)(x + 2)^2} + x^2$

наверху будет разность кубов

[alisa-lebovski]

Цитата:

(никогда не понимал, почему модно именно в этой теме мучать детей разностями кубов)

Да, это форменное издевательство. Надо сначала давать Тейлора, потом такое считать.

[RNT]

SpBTimes в сообщении #389982 писал(а):

Нет. домножьте и поделите на
$\sqrt[3]{((x + 1)(x + 2)^2)^2} + x*\sqrt[3]{(x + 1)(x + 2)^2} + x^2$

наверху будет разность кубов

Сделал. Но от этого выражение не стало выглядеть проще. Что делать дальше ?

$$\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{\left( {\sqrt[3]{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - x} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{((x + 1){{(x + 2)}^2})}^2}}} + x\sqrt[3]{{(x + 1){{(x + 2)}^2}}} + {x^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{((x + 1){{(x + 2)}^2})}^2}}} + x\sqrt[3]{{(x + 1){{(x + 2)}^2}}} + {x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2} - {x^3}}}{{\sqrt[3]{{{{((x + 1){{(x + 2)}^2})}^2}}} + x\sqrt[3]{{(x + 1){{(x + 2)}^2}}} + {x^2}}}} \right)\]$$

[ИСН]

сверху раскрыть, снизу заменить на эквивалентные.

[alisa-lebovski]

Найти в явном виде числитель, потом числитель и знаменатель поделить на $x^2$.

[RNT]

alisa-lebovski в сообщении #389999 писал(а):

Найти в явном виде числитель, потом числитель и знаменатель поделить на $x^2$.

Смог решить, спасибо большое.

$$\[\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2} - {x^3}}}{{\sqrt[3]{{{{((x + 1){{(x + 2)}^2})}^2}}} + x\sqrt[3]{{(x + 1){{(x + 2)}^2}}} + {x^2}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{ - 3{x^2} + 4}}{{\sqrt[3]{{{{((x + 1){{(x + 2)}^2})}^2}}} + x\sqrt[3]{{(x + 1){{(x + 2)}^2}}} + {x^2}}}} \right) = \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{ - 3 + \frac{4}{{{x^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{((1 + \frac{1}{x}){{(1 + \frac{2}{x})}^2})}^2}}} + \sqrt[3]{{(1 + \frac{1}{x}){{(1 + \frac{2}{x})}^2}}} + 1}}} \right) = \frac{{ - 3}}{{1 + 1 + 1}} = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \]$$

-- Вт дек 21, 2010 23:18:05 --

ИСН в сообщении #389997 писал(а):

сверху раскрыть, снизу заменить на эквивалентные.

Заменять на эквивалентные можно же только при $\[x \to 0\]$

[alisa-lebovski]

Только перед двойками везде минусы. На ответ это не влияет.

[ИСН]

RNT в сообщении #390004 писал(а):

Заменять на эквивалентные можно же только при $\[x \to 0\]$

O RLY?

[SpBTimes]

Цитата:

Заменять на эквивалентные можно же только при $\[x \to 0\]$

Мне кажется, вы нас парите

[RNT]

SpBTimes в сообщении #390021 писал(а):

Мне кажется, вы нас парите

Не надо так строго. В институте рассказывали только про пределы бесконечно малых. По запросу "эквивалентности пределы" поисковик тоже выдает только пределы бесконечно малых. Я подумал, что, возможно, ИСН ошибся или перепутал. Буду весьма благодарен, если вы дадите ссылку на какую-нибудь информацию про пределы бесконечно больших.