Здравствуйте!
Вопросы относятся скорее к теоретическим основаниям
проекционных методов решения СЛАУ.
Идея таких методов заключается на проектировании решения на какое-то подпространство K ортогонально к другому подпространству L.
Один из классов проекционных методов строится так: K=L=Km,
где Km=span{v,Av,A^2v,...,A^(m-1)v} -
подпространство Крылова, порожденное вектором v и матрицей A.
В частности,
метод сопряженных градиентов так строится.
В литературе по численным методам метод сопряженных градиентов обычно описывают алгоритмом и говорят про его конечность, не уделяя внимания основаниям этого метода, т.е. какую роль играют подпространства Крылова при построении метода. В некоторых книгах я встретил информацию про подпространства Крылова, но в них я не встретил привязки к проекционным методам. Так и не понял следующего:
1) чем же хороши подпространства Крылова?
2) в методе сопряженных градиентов в качестве вектора v выбирается вектор начальной невязки r=b-Ax, а дальше вся процедура вычислений строится по реккурентным формулам. Соответственно возникает вопрос, причем тут подпространства Крылова?
3) в одной из книг нашел предложение: "В конце 1970-х гг. отечественные математики Немировский А.С. и Юдин Д.Б. обнаружили, что информация о линейной системе, содержащаяся в подпространствах Крылова, является оптимальной с точки зрения любого способа ее использования". Вопрос: и какую же такую полезную информацию содержат подпространства Крылова?
Вот-вот надо выступать с докладом по методу сопряженных градиентов. Но сам еще не до конца "врубился"
Хотелось бы больше ясности о роли подпространств Крылова при построении проекционных методов, особенно метода сопряженных градиентов, решении СЛАУ.
Заранее, СПАСИБО.
