доказать равномерную сходимость последовательности

[PreVory]

Доказать, что если функция $f(x)$ непрерывна на множестве действительных чисел, то последовательность {$f_n(x)$} где $f_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}f(x+\frac{k}{n})$ сходится равномерно на любом конечном отрезке [a;b].
Ну сходимость этой последовательности очевидна. А вот к равномерной сходимости не знаю даже как подступиться. Насколько я понимаю тут ни верхняя/нижняя сумма дарбу не помогут, т.к. выбор точек в которых берём значение будет зависеть от х, а больше идей нет.

[SpBTimes]

Нет, а в лоб по определению?

[PreVory]

Ну по определению вроде тоже не получается, разность этой суммы и интеграла у меня не оценивается

[alisa-lebovski]

Если функция непрерывна на отрезке, то она на нем равномерно непрерывна.
Так что разность оценивается.

[PreVory]

На отрезке непрерывна функция f(x), а равномерную сходимость последовательности {$f_n(x)$} как раз и надо доказать.

[SpBTimes]

Напишите разность суммы и интеграла, посмотрим

[paha]

конечно, в лоб: $\forall\varepsilon>0$ $\exists\delta(\varepsilon)>0$ : $|z-q|<\delta$ сразу $|f(z)-f(q)|<\varepsilon$ (равномерная непрерывность на $[a;b]$)

теперь если взять $n>1/\delta$, то $\left|f_n(x)-\int_x^{x+1}f(t)dt \right|<\varepsilon$

[PreVory]

Так почему? $\left|f_n(x)-\int_x^{x+1}f(t)dt \right|<\varepsilon$ Понятно, что просто найдётся такое дельта для каждого х, а как показать что оно общее?

[Padawan]

$$|f_n(x)-\int_x^{x+1} f(t)dt|=|\sum\limits_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n}f(x+\frac{k}{n})-\sum\limits_{k=0}^{n-1}\int\limits_{x+\frac{k}{n}}^{x+\frac{k+1}{n}} f(t) dt|\leqslant\sum\limits_{k=0}^{n-1}|\int\limits_{x+\frac{k}{n}}^{x+\frac{k+1}{n}}f(x+\frac kn)dt-\int\limits_{x+\frac{k}{n}}^{x+\frac{k+1}{n}} f(t) dt|\leqslant$$

$$ \leqslant\sum\limits_{k=0}^{n-1}\int\limits_{x+\frac{k}{n}}^{x+\frac{k+1}{n}}|f(x+\frac kn)-f(t)|dt\leqslant\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\varepsilon=\varepsilon $$

[paha]

(Оффтоп)

Padawan
ай-яй-яй