плотность экспонент

[shwedka]

Может, кому попадалось...

Имеются классические результаты Левинсона, Винера и др
о полноте e в $L_2$ на отрезке системы экспонент $e^{\lambda_k x}$, где $\lambda_k\to\infty $ последовательность комплексных чисел. Условие (достаточное) состоит в том, что
$|Im(\lambda_k)|\le C |Re (\lambda_k)|$ и $\sum|\lambda_k|^{-1}=\infty$

Не встречался ли кому похожий результат о двух переменных,
достаточное условие полноты в $L_2$ на квадрате системы функций
$e^{\lambda_k x+\mu_k y}$.? конечно, можно потребовать одномерной полноты по каждой переменной, но для меня это слишком грубо...

[Руст]

По моему плотность по каждой переменной необходимо и достаточно. Необходимость очевидно, достаточность следует из полноты функций $\sum_k a_kf_k(x)g_k(y)$.

[shwedka]

Руст писал(а):

По моему плотность по каждой переменной необходимо и достаточно. Необходимость очевидно, достаточность следует из полноты функций $\sum_k a_kf_k(x)g_k(y)$.

УУУ, здорово,
значит, по Вашему,
функции типа $\sum_ka_k e^{k(x+y)}$ плотны??
А о необходимости - ничуть не очевидно!!
Рeчь идет о парах $(\lambda_k,\mu_k)$ Конечно, если эти пары, на самом деле состоят, с перенумерацией, из пар вида $(\lambda_j,\mu_k)$ с индексами, независимо меняющимися друг от друга, то этого достаточно. Это и есть приближение по каждой переменной. Но почему необходимо!?? Может быть меньше???

[Руст]

Я ведь обозначил $f_k(x)g_k(y)$, что подразумевает суммирование по различным парам, т.е k=(i,j).

[shwedka]

Руст писал(а):

Я ведь обозначил $f_k(x)g_k(y)$, что подразумевает суммирование по различным парам, т.е k=(i,j).

А как я, бедная, должна была об этом подразумевании догадаться??
Не понимаю я, что такое $f_{i,j}(x)$,

Ладно, по-серьезному, тривиально было бы сказать, и Вы это сказать пытаетесь, что достаточно рассмотреть систему
экспонент $\exp(\lambda_j x+\mu_k y)$
где системы показателей $\lambda_j, \mu_k $
по отдельности удовлетворяют условию Левинсона. Но тривиальный ответ неинтересен. Какие МЕНЬШИЕ системы показателей дают полноту
?

[Руст]

Конечно я не это имел в виду. Я возражал относительно $e^{\lambda (x+y)}$, естественно разные функции должны быть, если не двойной ряд, так хотя бы
(1) $e^{\lambda_k x +\mu_k y}.
По видимому, вы здесь что-то напутали.

shwedka писал(а):

Имеются классические результаты Левинсона, Винера и др
о полноте e в $L_2$ на отрезке системы экспонент $e^{\lambda_k x}$, где $\lambda_k\to\infty $ последовательность комплексных чисел. Условие (достаточное) состоит в том, что
$|Im(\lambda_k)|\le C |Re (\lambda_k)|$ и $\sum|\lambda_k|^{-1}=\infty$

Думаю или неравенство надо менять на противоположное, или (что эквивалентно) рассматривать систему экспонент $e^{i\lambda_k x}.$
Ясно, что в записи (1) необходимо, чтобы при любых действительных a,b (a^2+b^2>0) система $a\lambda_k +b\mu_k $ должна удовлетворять классическим результатам. Имелось в виду это под очевидной необходимостью. Думаю, что это и достаточно ввиду специфики функций, доказательство должна быть аналогичной одномерному случаю. Вот это мое мнение, правда неспециалиста.

[Brukvalub]

Разложения по рядам экспонент и сопутствующие таким разложениям вопросы полноты, замкнутости и т.п. интенсивно изучались еще в СССР в трудах А.Ф.Леонтьева (см.здесь:http://www.rbtl.ru/encikl/lll/leont.htm) и его учеников (его школа работала в основном в Уфе). Попробуйте поискать результаты в их работах.Может быть, что-то удастся отыскать в этой книге: http://www.bolero.ru//index.php?level=4&pid=39097056 или в трудах ее автора.Большим помочь не могу, т.к. сам этой темой никогда не занимался. Попробую спросить у А.М.Седлецкого, но это случится только во вторник.

[shwedka]

Brukvalub писал(а):

Разложения по рядам экспонент и сопутствующие таким разложениям вопросы полноты, замкнутости и т.п. интенсивно изучались еще в СССР в трудах А.Ф.Леонтьева (см.здесь:http://www.rbtl.ru/encikl/lll/leont.htm) и его учеников (его школа работала в основном в Уфе)..

спасибо. К сожалению, у Леонтьева обычно только одномерный случай рассматривается. И аппроксимация в комплексной области. Но подожду вторника.

Руст писал(а):

Думаю или неравенство надо менять на противоположное, или (что эквивалентно) рассматривать систему экспонент $e^{i\lambda_k x}.$

Мне-то надо именно как я написала. Для чисто мнимых экспонент, по классике, совсем другая песня, там, для интервала длины 2пи, только совсем мало можно отступить от тригонометричской системы с целыми показателями.

[Руст]

Что же по вашему система из $e^{nx}$ полно в L2?.
Можете оставить собственные числа как вы пмсали (без умножения на мнимую единицу), но тогда неравенство надо менять на противоположное: $|Im(\lambda_k)|\ge C|Re(\lambda_k)|$.

[shwedka]

Руст писал(а):

Что же по вашему система из $e^{nx}$ полно в L2?.

Да, полна, уже лет 70 как полна!! Теорема Sasz. на конечном интервале, конечно.

[Руст]

Да, на компакте пожалуй полна. Но, всем известно, что система Фурье $\lambda_k=ik$, удовлетворяющее противоположному неравенству так же полно. Поэтому, я считал, что тут какая та ошибка.

[shwedka]

Руст писал(а):

Да, на компакте пожалуй полна. Но, всем известно, что система Фурье $\lambda_k=ik$, удовлетворяющее противоположному неравенству так же полно. Поэтому, я считал, что тут какая та ошибка.

Но не всюду полно: на интервале длиной больше двух пи не полна!!

[Аурелиано Буэндиа]

shwedka писал(а):

Но тривиальный ответ неинтересен. Какие МЕНЬШИЕ системы показателей дают полноту ?

А в каком смысле меньшие системы? Если построить так как предлагал Руст, т.е. через произведение экспонент из полных наборов, то на компакте имеем уже счетное множество.

[shwedka]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

shwedka писал(а):

Но тривиальный ответ неинтересен. Какие МЕНЬШИЕ системы показателей дают полноту ?

А в каком смысле меньшие системы? Если построить так как предлагал Руст, т.е. через произведение экспонент из полных наборов, то на компакте имеем уже счетное множество.

Ой, а кто сейчас по мощности считает...

Мне хотелось бы не примеров полных систем, я их сама могу два литра нарисовать, а признака, как я могу проверить, что система, которая у меня есть , то есть из конкретной задачи пришла, полна. В частности, для ПОДМНОЖЕСТВ того, что выше обсуждалось, в этом смысле меньших.