О пределе потока среднего числа отказов

[rishelie]

Пусть у нас есть неотрицательные н.о.р.с.в. $\tau_1,\tau_2,\dots$
Сумма $S_k=\tau_1+\dots+\tau_k$.
$F_k(t)$ -- функция распределения $S_k$.
Предположим, что существует плотность $f_k(t)=dF_k(t)/dt$.
Далее рассмотрим функцию:

$$ \Omega(t)=F_1(t)+F_2(t)+\dots, $$

сходимость в каждой точке, где $F_1(t)<1$, обеспечивается неравенством $F_k(t)\le F_1^k(t)$.
Далее определим:

$$ \omega(t)=f_1(t)+f_2(t)+\dots=\Omega'(t). $$

Всегда ли верно, что

$$\omega(t)\to 1/{\bf\sf E}\tau_1\qquad\qquad (1)$$

при $t\to\infty$.

Пояснение: под $\tau_1$ понимается время работы машины до первого отказа, а $S_k$ -- время работы до $k$-го отказа (имеется ввиду, что производился ремонт $k-1$ раз). Если определить с.в. $\xi(t)$, равную количеству отказов за время $t$, то

$$ {\bf\sf E}\xi(t)=\Omega(t). $$

Возможно, (1) следует из неравенств

$$ \frac{t}{{\bf\sf E}\tau_1}-1\le\Omega(t)\le\frac{t}{{\bf\sf E}\tau_1}, $$

в справедливости которых я бы тоже хотел убедиться :)

[--mS--]

rishelie в сообщении #388558 писал(а):

Далее рассмотрим функцию:

$$ \Omega(t)=F_1(t)+F_2(t)+\dots, $$

Если добавить ещё единицу, эта функция называется функцией восстановления.

rishelie в сообщении #388558 писал(а):

$$\omega(t)=f_1(t)+f_2(t)+\dots=\Omega'(t). $$

Всегда ли верно, что

$$\omega(t)\to 1/{\bf\sf E}\tau_1\qquad\qquad (1)$$

при $t\to\infty$.

Это утверждение известно как вариант "локальной теоремы восстановления". Литературы по теории восстановления много, например, во втором томе Феллера это аккурат теорема 2 параграфа 4 главы XI. От плотности одного слагаемого требуется непосредственная интегрируемость по Риману.

[rishelie]

спасибо, разобрался :) не по тем словам искал в гугле :)