Расширение Галуа

[neo66]

Является ли поле $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}+\sqrt{2})$ расширением Галуа поля $\mathbb{Q}$?

У меня такое чувство, что нет. А у Вас?

[Хорхе]

И у меня чувство, что нет. Даже убеждение. Тут просто доказать ненормальность.

[neo66]

Спасибо, утешили. Еще был вопрос, но, что-то никто не реагирует.

neo66 в сообщении #387227 писал(а):

Является ли расширение $\mathbb{Q}(\sqrt{\sqrt{2}+{\sqrt{-2}})$ расширением Галуа поля $\mathbb{Q}$?

Я думаю, да. И группа Галуа у него $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}})^2\times(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}})^2$. Правильно?

[Хорхе]

neo66 в сообщении #387698 писал(а):

Спасибо, утешили. Еще был вопрос, но, что-то никто не реагирует.

neo66 в сообщении #387227 писал(а):

Является ли расширение $\mathbb{Q}(\sqrt{\sqrt{2}+{\sqrt{-2}})$ расширением Галуа поля $\mathbb{Q}$?

Я думаю, да. И группа Галуа у него $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}})^2\times(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}})^2$. Правильно?

Я последний раз десяток лет назад з г.Г. сталкивался и могу быть неправ, но вроде правильно.

UPD Нет, неправильно.

[Хорхе]

UPD2 Нет, все же правильно, кажись. Только без квадратов : $C_2\times C_4$.

-- Ср дек 15, 2010 22:38:10 --

(Пусть меня поправят, если что.)

Указанное поле является полем разложения многочлена $x^8+16$. Легко проверить, что все корни этого многочлена являются нечетными степенями корня $\sqrt{2}e^{i\pi/8}$, деленными на подходящую степень двойки. То есть автоморфизм вполне задается образом $\sqrt{2}e^{i\pi/8}$, который, кстати, должен быть одним из $\sqrt{2}e^{i k\pi/8}$, $k=1,3,5,\dots,15$. А там, как мы знаем, возведение в нечетную степень и деление на степень двойки. Собственно, отсюда коммутативность. Всего этих изоморфизмов восемь. Элементов порядка $8$ там нет, а элементы порядка $4$ есть. Так что $C_2\times C_4$.

[neo66]

Я рассуждал точно так же. Если $\xi=\sqrt{2}e^{i\pi/8}=\sqrt{\sqrt{2}+{\sqrt{-2}}$, то корни нашего уравнения будут:

$$\xi,\frac{1}{2}\xi^3,\frac{1}{2^2}\xi^5,\frac{1}{2^3}\xi^7,\frac{1}{2^4}\xi^9,\frac{1}{2^5}\xi^{11},\frac{1}{2^6}\xi^{13},\frac{1}{2^7}\xi^{15}$.

Автоморфизмы определяются образом $\xi$. Коммутативность проверяется непосредственно.

Автоморфизм $\sigma: \xi \to \frac{1}{2}\xi^3$ имеет порядок $4$. $\xi \to \frac{1}{2}\xi^3 \to \frac{1}{2^5}\xi^{11} \to \xi$.

Автоморфизм $\tau: \xi \to \frac{1}{2^3}\xi^7$ имеет порядок $2$.

Проверяем прямым вычислением, что Группа Галуа порождается $\sigma$ и $\tau$, и значит есть ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}})\times(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}})$. Кажется, разобрались.

Но, здесь все было относительно просто, поскольку мы явно знали корни и могли все посчитать руками. А вот, интересно какие есть алгоритмы вычисления группы Галуа произвольного многочлена. Как, к примеру, вычислить группу Галуа поля разложения многочлена $8x^7+7x^6+6x^5+5x^4+4x^3+3x^2+2x+1$?

[Хорхе]

Тут что-тот пишут.