Линейная комбинация расходящихся последовательностей

[Mathusic]

Здравствуйте.
Возник вопрос, верно ли следующее
утверждение:

Для любых двух сходящихся в широком смысле последовательностей $a_n$ и $b_n$ в $\mathbb{R}$ (не суть) существует набор чисел $(\alpha, \beta) \ne (0,0)$, таких что $\alpha a_n+\beta b_n$ сходится.
(Под сходящейся в широком смысле посл-тью понимается такая посл-ть $x_n$, что $\displaystyle \lim_{x\to\infty}{x_n}=\pm \infty.$)

Ну и, очевидно, вроде, что если такой набор существует, то единственен.

[ИСН]

Ну сведите: $a_n=n,\,b_n=n^2$.

[RIP]

$\alpha=\beta=0$?

[Mathusic]

ИСН в сообщении #387926 писал(а):

Ну сведите: $a_n=n,\,b_n=n^2$.

Да.
Надо переформулировать вопрос. Что-то вроде: "какие условия, надо наложить на посл-ти, чтоб утверждение стало верно".
Они должны быть ББ одного порядка. Верно?

-- Чт дек 16, 2010 01:44:29 --

RIP в сообщении #387936 писал(а):

$\alpha=\beta=0$?

Поправил.

[Xaositect]

Mathusic в сообщении #387940 писал(а):

Они должны быть ББ одного порядка. Верно?

Да, отношение должно иметь ненулевой конечный предел.

-- Чт дек 16, 2010 00:48:19 --

Mathusic в сообщении #387924 писал(а):

Ну и, очевидно, вроде, что если такой набор существует, то единственен.

с точностью до умножения обеих компонент на ненулевую константу.

[Mathusic]

Xaositect в сообщении #387941 писал(а):

с точностью до умножения обеих компонент на ненулевую константу.

Ну вот опять неточности у меня
А изначально хотел написать: "Если сущ. 2-а таких набора, то в совокупности они образуют л/з систему."

[ИСН]

Следующий шаг: $a_n=n^2-n,\,b_n=n^2+n$. Они вроде одного порядка, нет?

[Xaositect]

Xaositect в сообщении #387941 писал(а):

Да, отношение должно иметь ненулевой конечный предел.

А стоп.
Туплю. Это не критерий, это следствие.
критерий - это $a_n = kb_n + c + o(1)$

[ИСН]

Да, похоже, как-то так.
По сути идеи Mathusic: естественно, если есть два таких набора, не пропорциональные друг другу, то линейно комбинируя их, можем получить в чистом виде исходные последовательности. Что противоречит.

[Mathusic]

ИСН в сообщении #387944 писал(а):

Следующий шаг: $a_n=n^2-n,\,b_n=n^2+n$. Они вроде одного порядка, нет?

Да-да, вы правы, одного, вроде как

-- Чт дек 16, 2010 02:09:08 --

ИСН в сообщении #387948 писал(а):

По сути идеи Mathusic: естественно, если есть два таких набора, не пропорциональные друг другу, то линейно комбинируя их, можем получить в чистом виде исходные последовательности. Что противоречит.

Да-да, моя так же рассуждать.

-- Чт дек 16, 2010 02:14:57 --

Xaositect в сообщении #387945 писал(а):

А стоп.
Туплю. Это не критерий, это следствие.
критерий - это $a_n = kb_n + c + o(1)$

Да, только этот критерий, ну почти, как исходное утверждение: сходящаяся посл-ть ведь всякая представима в виде БМ и своего предела.
В общем, хочется "поудобнее" критерия.

Да, следствие хоть имеем.

[ИСН]

Это в каком-то смысле "точный" критерий - удобнее не будет.

[Mathusic]

ИСН в сообщении #387952 писал(а):

Это в каком-то смысле "точный" критерий - удобнее не будет.

Вы имеете в виду критерий $a_n = kb_n + c + o(1)$?

[ИСН]

Да.