Исследование спирали, заданной параметрически.

[STASOPOLUS]

Приветствую всех посетителей форума dxdy, особенно тех, кто не пройдет мимо этой темы )) Досталась весьма необычная для меня задачка по исследованию спирали, заданной параметрически:

\begin{equation} \notag \left\{ \begin{array}{l} x=e^t \cos t; \\ y=e^t \sin t. \\ \end{array} \right. \end{equation}

Может быть она не такая уж и сложная, но у меня возникли небольшие трудности при ее исследовании:
1. Асимптоты.
Вопрос банальный: есть ли у спирали нечто похожее на асимптоту? При поисках литературы я где-то вычитал что у спирали есть асимптотическая точка. Ни асимптотических точек в частности, ни особых в целом мы еще не изучали. Стоит ли упоминать о ней в работе, или просто написать что при $t \rightarrow -\infty$ оба уравнения стремятся к нулю и мол из этого следует что функция бесконечно приближается к точке (0;0)?
2. Период функции y(x).
Что-то совсем непонятно что о нем можно сказать исходя из заданных уравнений. Если я правильно понял, то функция непериодическая. Прошу поправить, если не прав.
3. Исследование в общем.
Так же хочется уточнить, все ли необходимые исследования я провел. Дело в том что тут не так уж и много вещей, за которые можно уцепиться и возможно я что-то упустил. Производные, я так понял, играют решающую роль в моей задаче. Значит на данный момент сделано:
а. ООФ: $x\in (- \infty ;0) \cup (0;+ \infty )$, $t\in (- \infty ;+ \infty )$.
б. Функция общего вида, непериодическая.
б. Первая производная (интервалы знакопостоянства x(t) и y(t)).
в. Вторая производная (промежутки выпуклости функции y(x) вверх и вниз)
Сами производные и их исследование не буду выписывать, т.к. предположительно они правильные ))
г. Асимптоты (еще раз повторю суть вопроса: нужно ли исследовать их наличие? если да, то достаточно ли того что я сделал в п.1?)

Сразу прошу прощения, если понаписал тут всякой глупости )) первокурсник все-таки )))

[gris]

асимптота есть у гиперболической спирали, а у Вас логарифмическая.
Кстати, асимптоты появляются не только при стремлении параметра (или переменной) к бесконечности, но и к некоторому числу. Например, у той же гиперболической спирали при стремлении к 0.

(Оффтоп)

главное, чтобы расстояние от асимптотической прямой (кривой) до нашей кривой стремилось к нулю, по мере продвижения некоторой точки вдоль прямой на расстояние, стремящееся-таки к бесконечности.

[Алексей К.]

STASOPOLUS в сообщении #387729 писал(а):

2. Период функции y(x).
У Вас здесь нет никакой такой функции y(x). -- A.K.
....................................
б. Первая производная (интервалы знакопостоянства x(t) и y(t)).
Интервалы эти вряд ли кому-нибудь интересны. Не могу придумать, какое отношение они имеют к производной. -- А.К.
....................................
в. Вторая производная (промежутки выпуклости функции y(x) вверх и вниз)

Тупо переносить что-то из известной темы "исследование функции" на малоизвестную тему "исследование кривой" нельзя.
Некая стандартная методика исследования плоской кривой (мне таковая неизвестна) должна была бы включать асимптоты, особые точки, (не)замкнутость, (не)ограниченность, периодичность (кривой!). Наверное, что-то ещё.

-- 15 дек 2010, 18:02 --

Ещё ошибки:

Цитата:

я где-то вычитал что у спирали есть асимптотическая точка.

Вы не могли это вычитать про любую спираль. Вы могли это вычитать про какую-то конкретную спираль, в частности, Вашу.
Точного определения ас. точки не помню.

Цитата:

Может быть она не такая уж и сложная, но у меня возникли небольшие трудности при ее исследовании:

Мне кажется, это не так: трудности возникли немалые.

Цитата:

или просто написать что при $t \rightarrow -\infty$ оба уравнения стремятся к нулю

Уравнение не может стремиться к нулю. К нулю может стремиться какая-нть величина, x, например.

[arseniiv]

А кривизна, кстати, не нужна? (Не знаю.)

[paha]

STASOPOLUS в сообщении #387729 писал(а):

Приветствую всех посетителей форума dxdy, особенно тех, кто не пройдет мимо этой темы )) Досталась весьма необычная для меня задачка по исследованию спирали, заданной параметрически:

$$\begin{equation} \notag \left\{ \begin{array}{l} x=e^t \cos t; \\ y=e^t \sin t. \\ \end{array} \right. \end{equation}$$

перейдите уже к полярным координатам

[STASOPOLUS]

Благодарю всех, кто откликнулся. Похоже и впрямь проблемы у меня есть серьезные )) Действительно это задача из аналитической геометрии, на тему кривые второго порядка. Вместе с заданиями выдали методички, в которых рассмотрены пара-тройка примеров, вроде листа Декарта. Предполагается что этого хватит для самостоятельного исследования. Методы там вполне стандартные - в основном производные да асимптоты . В этом и заключается основная проблема: асиптот нет, "интересных" точек тоже (кроме нуля). Остаются только производные. Ну да ладно, обо всем по порядку:
1. gris, paha, почитал про спирали немного, укрепился во мнении что в моем случае исследование асимптоты не требуется. С полярными координатами всего один раз встречался, да и то там нужно было по точкам строить )) так что асимптота отпадает. наверно..
2. arseniiv, нет, не думаю что нужна, с таким понятием вообще не сталкивался.
3. Алексей К., спасибо за столь подробный ответ и исправленные ошибки.

Цитата:

У Вас здесь нет никакой такой функции y(x). -- A.K.

с периодом y(x) я действительно затупил.

Цитата:

Интервалы эти вряд ли кому-нибудь интересны. Не могу придумать, какое отношение они имеют к производной. -- А.К.

я конечно же имел ввиду периоды знакопостоянства производных x'(t) и y'(t), т.е. периоды возрастания и убывания функций x(t) и y(t), и они определенно представляют интерес, насколько я понял ))

Цитата:

Вы не могли это вычитать про любую спираль. Вы могли это вычитать про какую-то конкретную спираль, в частности, Вашу.
Точного определения ас. точки не помню.

сильно подозреваю что она напрямую связана именно с полярной системой координат, а потому отпадает (счастливый я). По крайней мере в Фихтенгольце о ней упоминается только одновременно с полярной системой.

Цитата:

Уравнение не может стремиться к нулю. К нулю может стремиться какая-нть величина, x, например.

там конечно же не уравнения, а предел функций x(t) и y(t) равен 0 при t стремящимся к минус бесконечности, но ведь все поняли о чем я, не так ли )))
Возвращаясь к проблемам. Похоже их наоборот стало меньше. Попробую довести все до ума.. Еще раз всем спасибо.

[Алексей К.]

STASOPOLUS в сообщении #387837 писал(а):

сильно подозреваю что она (асимптотическая точка - А.К.) напрямую связана именно с полярной системой координат, а потому отпадает (счастливый я). По крайней мере в Фихтенгольце о ней упоминается только одновременно с полярной системой.

Глубоко неверная трактовка.
Вот торт, например. Его обычно нарезают в полярной системе координат (если он изначально круглый). Но он не перестаёт быть тортом и никуда не "отпадает", если его порезать декартово. Просто делить поровну будет неудобно.
Так и асимптотическая точка, и загогулинка какая-нибудь на кривой, и просто бутерброд с колбасой --- они либо есть, либо их нет. Независимо от системы координат.

[Bulinator]

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #387984 писал(а):

Вот торт, например. Его обычно нарезают в полярной системе координат (если он изначально круглый).

Да... чего только не услышишь на научном форуме

[Yu_K]

(Оффтоп)

http://bigpicture.ru/?p=105996#more-105996 - не только услышать, но и увидеть...

[Yu_K]

Да хотел еще написать, что если правильно сфотографировать лестницу сверху, то получится хорошая спираль с радиусом типа $R(t)=arctg(t)$ и с двумя асимптотами.

[Yu_K]

Лучше такой радиус взять $R(t)=2+arctg(t)$.