Софизм бесконечно малых шевелений (пишу во флейм, ибо софизм

[Xenia1996]

Есть одна очень известная задача. Я её видела во многих источниках и во многих вариациях - где-то говорится про точки и соединяющие их отрезки, где-то про аэродромы и самолёты, но суть от этого не меняется.

Так вот, в одном королевстве есть несколько аэродромов, все попарные расстояния между которыми различны. С каждого аэродрома взлетел один самолет и совершил посадку на ближайшем аэродроме. Докажите, что на один аэродром не могло приземлиться более пяти самолетов.

А теперь - софизм!
Я нашла контрпример для 6 самолётов. Поместим главный аэродром в центр круга радиуса 1, а остальные 6 расположим на окружности этого круга через равные промежутки. Так как длина окружности равна 2\pi, промежутки будут \pi/3. Теперь применим метод бесконечно малых шевелений (по щучьему шевелению, по моему хотению) так, чтобы попарные расстояния между всеми аэродромами стали разными. Тогда расстояние от главного аэродрома до каждого из остальных будет приближённо равно 1, а попарные расстояния между остальными будут приближённо равны \pi/3. Значит, каждый самолёт, взлетевший не с главного аэродрома, приземлится на главном.

Отгадайте, где подвох?

[paha]

самолеты летают прямо

[Xenia1996]

paha в сообщении #387700 писал(а):

самолеты летают прямо

Вот только не смейтесь, пожалуйста, но 8 из 10 опрошенных мной студентов (правда, не совсем математического профиля) на этот софизм купились.
А одна из них даже заявила мне: "может, в этой задаче $\pi$ берётся равным трём?"...

-- Ср дек 15, 2010 12:51:59 --

paha в сообщении #387700 писал(а):

самолеты летают прямо

Вот это, кстати, - не факт. Самолёт может и по кривой лететь. Но суть здесь не в том, как самолёты летают, а в понятии "ближайший".

[worm2]

Xenia1996 писал(а):

8 из 10 опрошенных мной студентов (правда, не совсем математического профиля) на этот софизм купились

А сколько из них сумели решить первую задачу (доказать, что на один аэродром не могло приземлиться более пяти самолетов)? Все 10?

[Xenia1996]

worm2 в сообщении #387708 писал(а):

Xenia1996 писал(а):

8 из 10 опрошенных мной студентов (правда, не совсем математического профиля) на этот софизм купились

А сколько из них сумели решить первую задачу (доказать, что на один аэродром не могло приземлиться более пяти самолетов)? Все 10?

Не проверяла. Но там нечего решать, принцип Дирихле - если более 5 самолётов, то проведём из этого аэродрома более 5 отрезков и получим более 5 углов, хотя бы один из которых будет не больше 60 градусов, а значит если на аэродром a прилетели из b и c то угол bac не самый большой в треугольнике abc, следовательно, сторона bc не самая большая. Значит, самолёт из b не сядет в a, ибо он - не ближайший.

[worm2]

Xenia1996 писал(а):

Не проверяла. Но там нечего решать, принцип Дирихле....

Мне кажется, если человек способен на такое рассуждение, то, скорее всего, он искушён и в подобных хитростях и на удочку не попадётся. Хотя... этот как подать, может и попадётся.

[Lyosha]

А вот некоторая вариация на тему.Возьмём непрерывную вектор-функцию,годограф которой имеет касательную в каждой точке и модуль которой непрерывно меняется.Отложим два различных значения этой функции из одной точки,которую назовём вершиной треугольника.Одно значение зафиксируем,а другое будем стремить к фиксированному,уменьшая разность аргументов,т.е. будем стремить к нулю угол при вершине треугольника.Поскольку функция у нас непрерывная,то разность модулей векторов будет стремиться к нулю,а значит полученный треугольник будет стремиться к равнобедренному.А т.к. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны,то и в рассматриваемом треугольнике углы при основании будут стремиться стать равными и в пределе будут прямыми углами.Таким образом,производная вышеупомянутой функции будет перпендикулярна самой функции при любом значении аргумента.

[Профессор Снэйп]

Xenia1996 в сообщении #387716 писал(а):

Но там нечего решать, принцип Дирихле...

А если вспомнить, что поверхность Земли сферическая? Как тогда решать?

[anwior]

Xenia1996 в сообщении #387696 писал(а):

А теперь - софизм!
Я нашла контрпример для 6 самолётов. Поместим главный аэродром в центр круга радиуса 1, а остальные 6 расположим на окружности этого круга через равные промежутки. Так как длина окружности равна 2\pi, промежутки будут \pi/3. Теперь применим метод бесконечно малых шевелений (по щучьему шевелению, по моему хотению) так, чтобы попарные расстояния между всеми аэродромами стали разными. Тогда расстояние от главного аэродрома до каждого из остальных будет приближённо равно 1, а попарные расстояния между остальными будут приближённо равны \pi/3. Значит, каждый самолёт, взлетевший не с главного аэродрома, приземлится на главном.

Отгадайте, где подвох?

Подвох состоит в том, что Вы единичный радиус уравняли с одним из 6-ти равных отрезков дуг, то есть 1= 1.04719... Опускаю детали... Короче, при Вашей раскладке и в самом наилучшем исходе на главный аэродром приземлится 4 самолета, а скажем, самолеты с 5-го и 6-го аэродрома (разумеется на окружности они соседи) неизбежно приземлятся на 6-м и 5-м аэродромах, соответственно.