разложить в ряд Маклорена e^ (x/sin (x))

[EvilOrange]

разложить $e^{\frac{x}{\sin(x)}}$ до $o(x^4)$
Сперва мне показалось, что запишу первые четыре члена разложения экспоненты, потом разложу в получившемся разложении синусы - и вот оно счастье. Оказалось не так все просто. Итак, разложение экспоненты имеет вид

$$e^t = 1+t +\frac{t^2}{2!}+ ... + \frac{t^n}{n!}$$

учитывая, что $t=\frac{x}{\sin(x)}$ имеем:

$$ e^{\frac{x}{\sin(x)}} = 1+\frac{x}{\sin(x)} +\frac{(\frac{x}{\sin(x)})^2}{2!}+ ... + \frac{(\frac{x}{\sin(x)})^n}{n!}$$

Дальше я думал sin(x) разложить по формуле и $x^n$ поделить на это разложение.
для $\frac{x}{\sin(x)}$ получилось разложение $1 - \frac{3}{x^2}+\frac{5}{x^4}$
В общем, так же сделал для второго, для третьего, для четвертого... И понял, что не остановлюсь, этот противный $x^n$ все дело портит. в разложении синуса находится постоянно такие степени x, которые сокращаются с ним и в результате дают степень меньше 5... И чего делать?.

[Gortaur]

А через производные? всего-то 4 штуки (страшные конечно, но куда деваться)

[ИСН]

А разложить $e^{1+x}$, к примеру, Вы сумеете? Там та же проблема.

[EvilOrange]

ИСН
$ e^{x+1} = 1 + (x+1) + \frac{(x+1)^2}{2!}+ \frac{(x+1)^3}{3!}+ \frac{(x+1)^4}{4!}$ и все? в Вашем же примере х ни с чем не сокращается...
Gortaur
Это по определению ряда Маклорена? Сейчас попробую =)

[ИСН]

Да, и всё. По степеням x. Где у Вас нулевая степень x? Смотрите: она и в первом слагаемом, и во втором, и...

[bot]

Может всё-таки определённее подсказать? Пусть разложит $e^x$ по степеням $x$, а там, глядишь, догадается, как по этим же степеням разложить $e^{1+x}.$

[ИСН]

Как разложить экспоненту по степеням икс - клиент уже знает и применяет. Но вот что делать с этой "1+", которая всё портит?
Загадка жизни, тайна веков.

[EvilOrange]

Что-то никак не пойму, как связано $\frac{x}{\sin x} $ и $1+x $ ?
За это время,кстати, разложил $\frac{x}{\sin x}$ по степеням, получилось $1+\frac{x^2}{6} + \frac{7x^4}{360} + o(x^4)$
и теперь по формуле разложения экспоненты раскладываем
$e^{1+\frac{x^2}{6} + \frac{7x^4}{360} + o(x^4)}$
похоже на пробивание стен лбом,когда рядом есть открытая дверь,но по другому никак не получается =(

[ИСН]

Пробивание стены не в ту комнату, добавлю я. Как связано? - да вот так: там и там есть эта "единица плюс", которая - - -
Ну скажите, какой коэффициент хотя бы при нулевой степени x в моей задаче? А в Вашей? А?

[EvilOrange]

Так, я совсем запутался.
Ваша задача: $e^{1\cdot x^0+x}$ т.е. коэффициент 1 при нулевой степени x.
Моя задача:
$e^{\frac{\sin x}{x}}$ тут вообще никаких единиц не наблюдаю, т.е. коэффициент при нулевой степени 0.

[ИСН]

Нет! Как же 1? Почему 1? Вы же только что писали выражение. Куда всё делось?

EvilOrange в сообщении #387325 писал(а):

$ e^{x+1} = 1 + (x+{\colorbox{red}{\mathbf 1}}) + \frac{(x+1)^2}{2!}+ \frac{(x+1)^3}{3!}+ \frac{(x+1)^4}{4!}$
(выделение моё - ИСН)

Вон там в кустах кто стоит? По-моему, это ещё одна 1. И это не всё...

[EvilOrange]

Вы про само разложение?
Мой вариант:

разложить этот вариант пока получилось только в виде
$1+(1+\frac{x^2}{6}+\frac{7x^4}{360})+\frac{(1+\frac{x^2}{6}+\frac{7x^4}{360})^2}{2}+\frac{(1+\frac{x^2}{6}+\frac{7x^4}{360})^3}{6}+\frac{(1+\frac{x^2}{6}+\frac{7x^4}{360})^4}{24}$
т.е. действительно единичек тут не заметил... И если их все посчитать, то будет
1+1+1/2+1/6+1/24...

[ИСН]

Да-да, теперь мы приблизились к сути проблемы. Разберите сначала моё. Так будет лучше во всех отношениях.
Итак, $e^{1+x}=...$

[EvilOrange]

$e^{x+1} = 1 + (x+1) + \frac{(x+1)^2}{2}+\frac{(x+1)^3}{6}+\frac{(x+1)^4}{24} = 2+ x + \frac{(x+1)^2}{2}+\frac{(x+1)^3}{6}+\frac{(x+1)^4}{24}$
но если (x+1) во вторую,третью и четвертую степень возвести еще можно, то
$1+\frac{x^2}{6}+\frac{7x^4}{360}$ как-то проблематично... Хотя,если отбрасывать степени старше 4х, то вполне реально...

[ИСН]

Можно? Можно возвести? Да Вы скажете ли мне наконец, каков там самый первый коэффициент - ну, который при нулевой степени x?