Азы линейки

[irina.]

Доброго времени суток!

Я, конечно, понимаю, что мои вопросы (к сожалению, их достаточно много) большинству покажутся до бесконечности глупыми, а ответы на них - очевидными, но ведь все, наверное, когда-то были на первом курсе, поэтому, пожалуйста, помогите мне! :)

Для начала мне хотелось бы узнать, как задать линейное многообразие с помощью СЛАУ и как сделать переход обратно на конкретном примере:

H = L { a1 (1; 2; 2) , a2 (3; 1; -1) } + c (3; 3; 0)

А еще мне не все ясно с поиском базиса подпространства. К примеру, в этой задаче

L : {
x1 + 3x2 + 2x4 = 0
x1 + x3 + 3x4 = 0
2x1 - 3x2 + 2x3 +4x4 =0

у меня получился базис (0; -2/3; -3; 1), но есть сомнения.

Вобщем, буду очень признательна за какую бы то ни было помощь. :)

-- Пн дек 13, 2010 20:02:12 --

PS: Если кто-нибудь знает хорошую книгу, где такие вот элементарные вещи объясняются доступным и понятным языком - буду рада узнать о ее существовании. :)

[Gortaur]

Книгу думаю Вам посоветуют, а я пока постараюсь ответить.

Первое задание: у Вас есть плоскость с двумя свободными векторами $a_1,a_2$ смещенная на вектор $c$. Это значит, что любой вектор на данной плоскости может быть предствлен как

$$ x = x_1 a_1 +x_2 a_2 +c. $$

Здесь $x_1,x_2$ - любые действительные числа. Дальше - нам нужно найти СЛАУ для данного многообразия. У нас есть 3 переменных, две из которых ($x_1,x_2$) - свободны. Значит наше СЛАУ это лишь одно уравнение (было бы больше уравнений - было бы меньше свободных переменных).

Как написать уравнение которое нам нужно? Вспомним, что если мы умножим скалярно любой вектор плоскости на перпендикуляр к плоскости, получится $0$ - вот и наше уравнение. То есть оно имеет вид
$<x-c,n> = 0$, где $n$ - любой перпендикуляр к плоскости. Осталось лишь его найти.

Для этого есть векторное произвдение векторов $[a_1,a_2]$ - думаю, знаете что оно перпендикулярно обоим векторам и как его посчитать тоже знаете. Вот и получается, что наше уравнение имеет вид:

$$ <x-c,n> = 0 $$

или

$$ <x,n> = <c,n> $$

чтобы был канонический вид.

Вопрос номер два. Опять же представьте, что у Вас есть некоторый вектор $x = (x_1,x_2,x_3,x_4)$ и он может лежать только на определенном многообразии чтобы его координаты удовлетворяли СЛАУ (на прямой, плоскости и т.д.) Эти уравнения - те же самые перпендикуляры к базису (да и любым векторам) искомого многообразия. Тогда мы имеем следующую систему:

$$ <x,n1> = 0,\quad <x,n2>= 0, \quad <x,n3>=0. $$

Каким же должен быть вектор $x$ чтобы он был перпендикулярен этим трем? Правильно, нам бы пригодилось векторное произведение - но мы уже в 4х мерном пространстве.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Если $<a, b>$, то $\langle a, b \rangle$.

[Gortaur]

Прошу прощения, я обычно просто $\cdot$ ставлю, но так как задача геометрическая решил, что топикстартеру привычнее в скобках воспринимать. Кстати, этот объект (детерминант где первая строка базисный вектора, а все остальные строки - координаты векторов) называют обобщенным векторным произведением $n-1$ вектора или есть другое название?

[arseniiv]

(2 Gortaur)

Gortaur в сообщении #387121 писал(а):

Прошу прощения

У меня зачем, просто подправил.