третья производная функции, заданной параметрически

[EvilOrange]

y=y(t)
x=x(t)
нужно найти третью производную по иксy^{(3)}_x
со первой производной с грехом пополам разобрался. Теперь нужно найти вторую и третью. Про вторую много где написано, (например,я здесь смотрел).
Но что-то мои рассуждения приводят меня к неверному ответу.
Итак, мы имеем что $y'_x = \frac{y'_t}{x'_t}$
Тогда $y''_{xx} = (\frac{y'_t}{x'_t})'$
А это производная отношения, равна $\frac {y''_t x'_t-y'_t x''_t}{(x'_t)^2}$
Собственно, вопрос. Где здесь у меня ошибка и почему в знаменателе должен быть куб,а у меня квадрат? о_О Есть у меня мысли, что это вроде производная сложной функции,и надо домножить еще на $\frac1{x'_t}$, но что-то никак не пойму, откуда эта единица деленная на производную икс по t взялась...

[gris]

Это не неявная функция, а функция заданная параметрически.
Но надо вспомнить сложную и обратную. Вы правы, надо домножить на $t'_x=$ тому, что Вы написали.

[ewert]

EvilOrange в сообщении #386831 писал(а):

Итак, мы имеем что $y'_x = \frac{y'_t}{x'_t}$
Тогда $y''_{xx} = (\frac{y'_t}{x'_t})'$
А это производная отношения, равна $\frac {y''_t x'_t-y'_t x''_t}{(x'_t)^2}$
Собственно, вопрос. Где здесь у меня ошибка и почему в знаменателе должен быть куб, а у меня квадрат?

Ошибка в том, что Вы выписали $\Big(\frac{y'_t}{x'_t}\Big)'_t=(y'_x)'_t$. А требовалось
$y''_{xx} = \dfrac{(y'_x)'_t}{x'_t} = \dfrac{\Big(\frac{y'_t}{x'_t}\Big)'_t}{x'_t}$.

[EvilOrange]

gris
действительно, запутался совсем с параметрами и неявностью =)
ewert
Т.е. я второй раз дифференцировал по t, кода надо было по x?..

[gris]

Ну у Вас же правильные догадки. Это сложная функция. И надо ещё умножить на производную $t(x)$, которая является обратной к $x(t)$. А производные обратных функций тоже в некотором смысле обратны.

[EvilOrange]

аааа!!! Я понял! Пока в маршрутке домой ехал - озарение нахлынуло Вторая-то производная тоже задана параметрически получается, а я её как обычную искал =)