Вот, какое свойство меня привлекло в монотонной кривизне. Типа "детерминированность".
Надоели многочисленные алгоритмы интерполяции, к каждому какой-то свой рецепт разбивания кривой, чтобы при восстановлении потом погрешность не превышала столько-то.
Нет ли там чего-то более фундаментального, --- подумал я (только узнав о теореме о 4-х вершинах и как-то подсознательно связав эти вещи)? Оно нашлось:
Здесь (вверху) некая кривая, представлена набором точек интерполяциии (и направлениями
касательных на концах). Конечно, для наглядности точки поставлены гораздо реже, чем это было бы, скажем, на чертеже.При разбиении соблюдалось требование однозначного проектирования участка кривой на хорду.
b) По этим данным построена область, гарантированно накрывающая все спирали, допускающие такое дискретно-точечное представление. Т.е. если мы выходим за пределы области, то нарушается монотонность кривизны. Локальная ширина области указывает на слишком редкую расстановку точек, недостаточную для будущей интерполяции (каким угодно алгоритмом).
c) Количество узлов интерполяции увеличено с 11 до 15.
Справа они расположены несколько чаще, чем слева, что явно сказывается на ширине области. При увеличении частоты расстановки точек в n раз ширина области уменьшается в n^3 раз.
При разбиениях, используемых на практике, ширина области будет незаметна для глаза. (Здесь возникает тема допусков-посадок, погрешностей измерения, контроля чертежа и изделия, итд, да и самих эмпирических алгоритмов интерполяции).
Вспомнил --- связь с теоремой о 4-х вершинах: моя гипотеза состояла в том, что кривая достаточно хорошо восстанавливается ("детерминирована") по вписанной ломаной, при условии минимума числа вершин на восстановленной кривой. А проверять гипотезу я стал при условии 0 вершин, т.е. с монотонной кривизной.
Добавлено спустя 24 минуты 59 секунд:бобыль писал(а):
Архимедова спираль имеет постоянный шаг.
Логарифмическая спираль пересекает свой радиус под постоянным углом.
Спираль Фибоначчи имеет кусочно-постоянную кривизну.
Какие еще есть "постоянные" возможности?
А сюда что бы еще добавить?
Мне эти признаки не кажутся признаками, на которых бы строилась классификация
(вспоминается обсуждение бобовых и проч. --- типа наличие ствола или корнеплода не есть классифицирующий признак у растения).
Сходу добавить могу спираль Штурма --- радиус кривизны равен полярному радиусу (т.е. расстоянию до фиксированной точки на плоскости)
![\[\left[ {0, + \infty } \right)\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/f/48fe063963e9b536fe562fb7170101ef82.png "\[\left[ {0, + \infty } \right)\]")
, каждую из которых можно переделать в спираль заменой координат. Классифицировать - значит найти признак соответствующий тому или иному классу функций, для монотонно возрастающих функций таких признаков можно насочинять бесконечно много.
).