Оператор Лапласа в сферических координатах

[maxmatem]

Где можно посмотреть , в нормальном виде представление оператора Лапласа в сферических координатах? можно ссылку, либо намекните как его вывести, а куда не гляну там готовенькая формула... а просто так запоминать не хочется ,уж очень она большая.....Вот узнаю как , проще будет.
P.S Я знаю что такое оператор Лапласа и как выглядят сферические координаты.

[ИСН]

Когда у Вас есть производная по x, а никакого x уже нету, то равна она чему? - ${\partial r\over\partial x}{\partial\over\partial r}+...$
Когда есть вторая производная, то...

[ShMaxG]

Оператор Лапласа в произвольной криволинейной системе координат:

$\[\Delta \varphi = \frac{1} {{\sqrt g }}\frac{\partial } {{\partial {x^i}}}\left( {\sqrt g {g^{ik}}\frac{{\partial \varphi }} {{\partial {x^k}}}} \right)\]$

По индексам $i$ и $k$ - свертка.

$\[{g^{ik}}\]$ -- компоненты метрического тензора, $\[{g^{ik}} = {\overrightarrow g ^i} \cdot {\overrightarrow g ^k}\]$ (скалярное произведение). $\[{\overrightarrow g ^i}\]$ -- $i$-ый вектор взаимного базиса, $\[\sqrt g = \sqrt {\det \left\| {{g_{ij}}} \right\|} \]$, аналогично $\[{g_{ij}} = {\overrightarrow g _i} \cdot {\overrightarrow g _j}\]$, где $\[{\overrightarrow g _i}\]$ -- $i$-ый вектор базиса, $\[{\overrightarrow g _i} = \frac{{\partial \overrightarrow r }} {{\partial {x^i}}}\] $.

$ \[{{x^i}}\]$ - это $i$-ая координата криволинейной системы координат, а $\[{\overrightarrow r }\]$ - радиус-вектор точки, как функция криволинейных координат.

Если система ортогональная, то $\[{g_{ij}} = {g^{ij}} = 0\]$ для разных $i$ и $j$. Также верно $\[\left\| {{g^{ij}}} \right\| = {\left\| {{g_{ij}}} \right\|^{ - 1}}\]$.

В случае сферической системы координат:

$\[\left\| {{g_{ij}}} \right\| = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {{r^2}} & 0 \\ 0 & 0 & {{r^2}{{\sin }^2}\theta } \\ \end{array} } \right),{\text{ }}\left\| {{g^{ij}}} \right\| = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {\frac{1} {{{r^2}}}} & 0 \\ 0 & 0 & {\frac{1} {{{r^2}{{\sin }^2}\theta }}} \\ \end{array} } \right)\] $

$\[{x^1} = r,{x^2} = \theta ,{x^3} = \varphi \]$ (тут $\[\varphi \]$ это угол, а не функция).

Можно выводить обычными методами, на что намекает ИСН. А можно прибегая к теории тензоров. Но стоит ли оно того?

[maxmatem]

Через тензоры, это самый крайний случай. Не могли бы вы намекнуть на более простой способ.

[ShMaxG]

Более простой в этом случае, я так думаю, это "в лоб". См. сообщение ИСН.

[maxmatem]

ShMaxGвот если функция задана явно то для неё оператор лапласа посчитать не проблема, а вот так не получается даже начать из сообщения ИСН я так и не понял как надо начать.

[ShMaxG]

Ну а Вы можете посчитать производную по обычной декартовой координате в терминах сферических координат? Когда дано выражение декартовых координат через сферические?

[maxmatem]

наверное да.

-- Вс дек 12, 2010 01:50:46 --

приедите простой пример чего надо посчитать и я попробую.

[ИСН]

Вы диффуры видели когда-нибудь? Это такие... да что я говорю, наверняка видели. Там иногда есть надобность перейти к другой переменной. Что при этом происходит с производной? Вот и тут то же самое.

[ShMaxG]

Ну вот по декартовой координате икс дифференцируют так: $\[\frac{\partial } {{\partial x}} = \frac{\partial } {{\partial r}}\frac{{\partial r}} {{\partial x}} + \frac{\partial } {{\partial \theta }}\frac{{\partial \theta }} {{\partial x}} + \frac{\partial } {{\partial \varphi }}\frac{{\partial \varphi }} {{\partial x}}\]$. Для этого надо знать выражение сферических координат через декартовы.
Ну а вторая производная так:
$\[\frac{{{\partial ^2}}} {{\partial {x^2}}} = \frac{\partial } {{\partial x}}\frac{\partial } {{\partial x}}\]$.

Как выглядит лапласиан в декартовых Вы знаете. Как все это дело выражается в терминах сферических координат я показал. Но заново перевыводить эту формулу -- дело не благодарное...

[maxmatem]

Цитата:

$\[\frac{\partial } {{\partial x}} = \frac{\partial } {{\partial r}}\frac{{\partial r}} {{\partial x}} + \frac{\partial } {{\partial \theta }}\frac{{\partial \theta }} {{\partial x}} + \frac{\partial } {{\partial \varphi }}\frac{{\partial \varphi }} {{\partial x}}\]$.

Это я прекрасно понял.Спасибо.
Как я понял писанины куча , а эффекта не так уж и много....

[ShMaxG]

maxmatem в сообщении #386368 писал(а):

Как я понял писанины куча , а эффекта не так уж и много....

Ага, ровно так и получается.

Я просто сначала подумал, вдруг Вам будет важна/полезна/нужна какая-то совсем общая формула, для запоминания. Лично я ту запомнил легко и могу ее применять. Хотя, тензорный анализ для людей, которые с ним особо не сталкивались, это большое зло, уж лучше выводить все как есть, в лоб.

[maxmatem]

Я как-раз начал тензорный анализ изучать, поэтому ваш вариант интересен,Просто я думал есть какой-нибудь более простой способ но видимо нет. Да этот оператор Лапласа мне нужен был чтобы уравнение Шрёдингера в сферических координатах записать.

Я не очень люблю формулу просто запоминать, (если это не какое-нибудь соотношение чей вывод уж очень огромный или просто постулируется ) , но эту видимо придётся.....