Момент инерции

[KOSHLICH]

Подскажите как вывести или где найти вывод формулы момента инерции диска радиусом R воеруг оси, проход. через диаметр, а также ч-з центр. Заранее благодарен

-----

[LynxGAV]

Без вывода. Может догадаетесь как.

PS A такой задачи что нет в Иродове?
Этой информации достаточно.

Думать становится не модно.
Простите, я не язвлю. Сказочно рада ресурсам интернета

PS Думать все же придется. Конкретно для диска там нет.

[Sanyok]

Для диска (для оси, проходящей через центр) несложно этот момент посчитать по определению.

Определение момента инерции:

Цитата:

Осевой момент инерции равен сумме произведений масс mi всех элементов тела на квадраты их расстояний hi от оси z, относительно которой он вычисляется, т. е.

$I = \sum\limits_{i=1}^n m_i h_i^2$
Я для диска вывел так:

взял за отдельный элемент кольцо. Его масса будет $dm = p dv = p h 2 \pi \rho d\rho $, где $\rho$ - это радиус кольца (он изменяется от 0 до R), $p$ - это плотность материала, $d\rho$ - это ширина кольца, $h$ - это толщина диска.

Формула для момента инерции:

$I=\int\limits_0^R \rho^2 dm = \int\limits_0^R \rho^2 p h 2 \pi \rho d\rho = 2 \pi p h \int\limits_0^R \rho^3 d\rho = 2 \pi p h \frac {\rho^4} 4 \| \limits_0^R = $
= $ \pi p h \frac {R^4} 2$

Выражение $ \pi p h {R^2}$ - это масса диска. Т.о., получаем, что момент инерции

$I = m \frac {R^2} 2 $

[LynxGAV]

to Sanoyk

Чем принципиально Ваш диск отличается от цилиндра?
Например, в предельном переходе для цилиндра получаем...Аналогия тор-кольцо.
Попутали они народ, всунув матрицу в интеграл, но считать-то надо по элементам и плотность, кстати, бывает поверхностная. А оси х и у в данном случае равноправны.

Глядите как заумно пишут.

Цитата:

A synonym for ball (in geometry or topology, and in any dimension) is disc (or disk); however, a 3-dimensional ball is generally called a ball, and a 2-dimensional ball (e.g., the interior of a circle in the plane) is generally called a disc.

In n-dimensional Euclidean space with the ordinary (Euclidean) metric, if the space is the line, the ball is an interval, and if the space is the plane, the ball is the disc inside a circle.

Кошка Лапка, в серьезных беседах - Лапа

[Sanyok]

LynxGAV писал(а):

to Sanoyk
Чем принципиально Ваш диск отличается от цилиндра?

Ни фига ни чем! Просто я ввел высоту для ясности. Фактически диск - это тот же цилиндр, просто тонкий. Для оси, проходящей через диаметр пока лень выводить, но, сдается мне, тоже несложно будет.

[LynxGAV]

Sanyok писал(а):

Ни фига ни чем! Просто я ввел высоту для ясности. Фактически диск - это тот же цилиндр, просто тонкий. Для оси, проходящей через диаметр пока лень выводить, но, сдается мне, тоже несложно будет.

Это неверно.
ИМХО диск плоский

Формально, да, массу можно писать через плотность на объем или поверхностную плотность на площадь. Когда считаешь для диска, у него нормальная плотность должна стремиться к бесконечности, чтобы масса оставалась конечная.

На вопрос математику "Что такое диск в 2д?" он ответит "Круг". Еще и "лол" добавит. Хотя это в некотором смысле вопрос договоренности. Подводят нас в основном блины, которые на штангу одевают . Хотя...какая тут договоренность. Никогда не слышала об объемных зарядах в диске.

PS У меня диск тоже ассоциируется с чем-то, чем можно здорово огреть по башке

[Sanyok]

LynxGAV писал(а):

...Подводят нас в основном блины, которые на штангу одевают . Хотя...какая тут договоренность. Никогда не слышала об объемных зарядах в диске.

PS У меня диск тоже ассоциируется с чем-то, чем можно здорово огреть по башке

Т.е. ассоциируются с теми самыми блинами, которые на штангу одевают?

[LynxGAV]

Истина или ясность? Истина.

Sanyok писал(а):

Т.е. ассоциируются с теми самыми блинами, которые на штангу одевают?

Да. А еще страшно, что такой блин может упасть на ногу. Или с солнечным диском. Но точно никак не c тоненькими, свеже приготовленными, блинчиками .

Никто не хочет нам хоть интегралы попроверять . Хе-хе. Решила разместить решение.
В задаче требуется найти $I_z$ и $I_x$ (или $I_y$, потому что они равны; зависит от того по какой оси мы берем диаметр).

$$I_{zz} \equiv I_z = {\rho}_{sup} \int \left(x^2 + y^2\right)dxdy = \rho_{sup} \int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi}r^2 r dr d\theta = \rho_{sup} 2 \pi \frac {R^4}{4} = $$

$$=\rho_{sup} \pi R^2 \frac {R^2}{2} =m\frac{R^2}{2}$$

$$I_{xx} \equiv I_x = I_{yy} \equiv I_y= {\rho}_{sup}\int y^2dxdy = {\rho}_{sup}\int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi}r^2 r \sin^{2}\theta dr d\theta = $$

$$={\rho}_{sup}\frac {R^4}{4} \int_{0}^{2\pi}\frac {1-cos 2 \theta}{2}d\theta = \rho_{sup} \frac {R^4}{4} \pi = \rho_{sup} \pi R^2 \frac {R^2}{4} =m\frac{R^2}{4}$
Замечания.
1. На мой взгляд, задача очень красиво сформулирована. Поскольку момент инерции это тензор, а из матИматики известно, что его можно диагонализовать (диагонализировать? короче привести к диагональному виду) путем выбора осей $x_1$, $x_2$, $x_3$. То есть мы посчитали главные моменты инерции, соответствующие собственным значениям тензора (все остальные компоненты $I_{xy}$ и др. - нули). KOSHLICH'у может еще не рассказывали, что в общем случае момент инерции - это тензор..Не знаю.
2. Еси не ймется. Для цилиндра высотой $h$ вычисляем $I_{diam} = \rho \int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi}\int_{-\frac {h}{2}}^{\frac{h}{2}}\left(r^2\sin^{2}\theta + z^2) r dr d\theta dz$, интегрируя сначала по $r$, потом по $z$ и $\theta$ (как я вижу с данной колокольни), получим результат, в котором надо положить $h$ много меньше $R$. Вот Вам и диск.
3. Физика пугает. Кажется еще на первом курсе, когда народ учится считать тройные интегралы, все рассматривают механические приложения. И я когда училась, считала для каких-то страшных фигур, не совсем соображая, зачем это надо. Формулу-то дали. Если неоднородное несплошное тело $V$, то момент инерции относительно оси $k$ $I_k = \int \int_{v}^{} \int \rho (x,y,z) r^2 dxdydz $, где $r$ - расстояние переменной точки $(x,y,z)$ тела $V$ от оси $k$. Еще момент аддитивен, то есть для сложного тела можно вычислять по частям.

PS Какая у Вас классная аватара, Александр. Как только вижу этого ..., сразу хочется смеяться.

Укоротил формулы. Dan_Te

[Sanyok]

Если хочется смеятся - на здоровье (говорят, полезно). Я специально выбрал, что бы было и симпатично, и забавно.

Сорри за оффтоп.

[LynxGAV]

Sanyok писал(а):

Просто я ввел высоту для ясности.

Истина в том, что диск плоский.

Среди пар несовместимых наблюдаемых величин Бор отмечал -- в шутку -- ясность и истину. Он будучи поставленным перед выбором, неизменно выбирал истину, жертвуя ясностью.

Aристотель: "Платон мне друг, но истина дороже!"

No comment.

PS Но тут оговорка - о симпатичности и забавности нет ни слова...