Теория вероятностей. Задача о лампочках

[Svetochka91]

Имеется n лампочек, каждая из которых при включении в сеть тут же перегорает с вероятностью p. Нам надо подключить k (k<n) лампочек. Найти вероятность того что нам хватит имеющихся лампочек и математическое ожидание количества лампочек, оставшихся после этого неиспользованными.

Вот мои рассуждения:
Мы можем подключить k лампочек и ни одна у нас не перегорит, тогда по схеме Бернулли:
$P_k(0) = C_k^0*p^0*(1-p)^k = (1-p)^k$
Если при подключении у нас сгорело, например, 3 лампочки и k мы подключили, тогда:
$P_{k+2}(3)*(1-p) = C_{k+2}^3*p^3*(1-p)^{k-1}*(1-p) = C_{k+2}^3*p^3*(1-p)^k$
Тогда вероятность получается равна:
$P(A) = P_k(0) + \sum\limits_{i=0}^{n-k-1}C_{k+i}^{i+1}*p^{i+1}*(1-p)^k$

По-моему здесь допущена ошибка в рассуждении

[bozhok]

Вроде бы верно. Но ведь это не все решение.

[Svetochka91]

Да, сейчас над мат. ожиданием думаю, завтра дополню

[Svetochka91]

Функция распределения сгоревших лампочек будет иметь вид:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \xi & 0 & 1 & 2 & ... & n-k \\ \hline p & (1-p)^k & C_k^1*p*(1-p)^k & C_{k+1}^2*p^2*(1-p)^k & ... & C_{n-1}^{n-k}*p^{n-k}*(1-p)^k & \end{array}$

Следовательно мат. ожидание оставшихся лампочек будет иметь вид:

$M = n - k - (1-p)^k*\sum\limits_{i=0}^{n-k-1} (i+1)*C_{k+i}^{i+1}*p^{i+1}$

Правильно ли я думаю?

[bozhok]

А еще больше ламп перегореть не могло? Кстати, это не функция распределения, а ряд. Сумма вероятностей в нем д.б. равна 1.

[Svetochka91]

Хм..мне пока ничего больше не приходит в голову как мат. ожидание лампочек можно посчитать...

[bozhok]

А я не говорю, что у Вас все неправильно посчитано. Просто, если Вы выписываете ряд распределения сл. в., то сумма вероятностей значений во второй строке должна равняться 1. В противном случае, либо Вы ошиблись в вероятностях, либо упустили из виду какие-то значения сл. в., которые принимаются с ненулевой вероятностью. Полагаю, что вероятность того, что останется 0 неиспользованных ламп, должна быть выше. Опять же, на окончательном результате -- м.о.-- это вроде бы не скажется (т.к. эта вероятность войдет в м.о. умноженной на 0), если вычислять м.о. через ряд распределения для неиспользованных ламп.
Могу ошибаться.

[Svetochka91]

Сегодня сдала эту задачу!! Мат. ожидание и вероятность правильно посчитаны