С6 (цепные дроби)

[jetyb]

jetyb в сообщении #283043 писал(а):

а решение ищется среди цепных дробей типа $[a_0,a_1,\ldots,a_{n-1},i]$, где $a<i\leq b,\quad i\in \mathbb{Z}$.

Извиняюсь, что-то описываться стал
Целое $i:\quad a_n\leq i\leq b_n$(на всякий случай надо рассмотреть и возможность $a_n=i$).
Напишу на всякий случай более подробный ход решения.
Пусть мы разложили концы интервала $a$ и $b$ в цепные дроби:
$a=[a_0,a_1,\ldots,a_{n-1},a_n,\ldots]$
$b=[b_0,b_1,\ldots,b_{n-1},b_n,\ldots]$
Пусть коэффиценты начинают различаться начиная с $n$-ого, т.е.
$\forall j<n\quad a_j=b_j$ и $a_n\neq b_n$. Тогда берем все целые $i:\quad a_n\leq i\leq b_n$ и ищем решение среди дробей
$[a_0,a_1,\ldots,a_{n-1},i].$

[gris]

jetyb
А мне кажется, что при равенстве $i=a_n$ результат может быть правее правого конца. (если дробь не оканчивается на этом месте)

Исправлял, исправлял...

[jetyb]

Мне кажется, что случаями $a_n=i,b_n=i$ нельзя пренебрегать.
Подходящие дроби имеют свойство "прыгать" через приближаемое число, т.е. находиться поочередно то слева, то справа от него. И подходящая дробь для концов $a$ и $b$ может очутиться внутри интервала.

[gris]

$(2,1,2,1)=2+\dfrac1{1+{\dfrac1{2+\dfrac11}}}=\dfrac{11}4=2,75$
$(2,1,2,2)=2+\dfrac1{1+{\dfrac1{2+\dfrac12}}}=\dfrac{19}7=2,7142...$
$(2,1,2,3)=2+\dfrac1{1+{\dfrac1{2+\dfrac13}}}=\dfrac{27}{10}=2,7$

Чего-то я запутался в этих дробях. Но я думаю, что Вы были правы раньше. Просто у Вас тоже путаница с этими $a$ и $b$. Всё-таки $a$ это правый конец. И $i=a_n$ только если дробь содержит $n$ элементов.

[jetyb]

Я рассматривал этот случай, потому что не имел строгого доказательства непринадлежности точки $[a_0,\ldots,a_{n-1},\min (a_n,b_n)]$ интервалу $(a,b)$.
Сейчас вроде бы оно появилось. Сперва несколько обозначений:
$p_a^n$ - подходящая дробь для числа $a$ на шаге $n$($p_a^0=[a]$).
$z_a^n$ - $n$-ое число в записе $a$ в виде цепной дроби
Известно, что:
1)функция $f(x)=[a_0,\ldots,a_{n-1},x]\quad(x>0)$ возрастает при четных $n$ и убывает при нечетных $n$
2)подходящие дроби находятся поочередно то слева, то справа от приближаемого числа
(т.е. $sgn(a-p_a^n)=(-1)^n$).

Пусть записи $a$ и $b$ не совпадают на $n$ шаге. Если $n$ четно:
$p_a^n\leq a< p_b^n\leq b$
(т.к. $z^n_a\neq z_b^n$, то $a<p_b^n$)
Из пункта 1) следует, что $z_a^n<z_b^n$, $p^n_a\leq a$.
Если $n$ нечетно:
$a\leq p_a^n< b\leq p_b^n$
Из пункта 1) следует, что $z_a^n>z_b^n $,$p^n_b\geq b$.
Значит число $[a_0,\ldots,a_{n-1},\min (a_n,b_n)]$ не принадлежит интервалу $(a;b)$.
Целое $i$ должно удовлетворять условию $\min (a_n, b_n)<i\leq \max (a_n, b_n).$

[f_student]

все ясно. спасибо.

[Did]

Приведем дроби к общему знаменателю. Получим$\frac{3456} {1260}$ и $\frac{3395}{1260}$. Так как знаменатель 1260=2*2*3*3*5*7, то искомая дробь может иметь знаменатели:2, 3,4,5,6,7,9.. , после сокращения на 630,420, 315, 252, 210, 180,.. соответственно.Следовательно для числителей должны выполняться двойные неравенства 3395< 630*n< 3456, 3395<420*n<3456 и.т.д. где n- натуральное число. При знаменателе 7 такое значение существует 3395<180*19<3456. Условию удовлетворяет дробь $\frac{19}{7}$.