полиномиальная выразимость корней

[maxal]

Пусть есть два (неприводимых) многочлена с коэффициентами из некоторого поля $K$.
Hужно найти многочлен (если такой существует) с коэффициентами из $K$, значения которого на корнях одного многочлена дают все корни второго многочлена.

Пример. Пусть даны многочлены над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$:
$f(x)=x^4 - 10 x^2 + 1$ и $g(x)=x^2 - 2$.
Корни $g(x)$ можно получить как значения многочлена $(y^3-9y)/2$ на корнях многочлена $f(x)$. Как это определить алгоритмически?

[Руст]

Для этого Группа Галуа одного из уравнений должна быть факторгруппой второго.

[maxal]

Руст писал(а):

Для этого Группа Галуа одного из уравнений должна быть факторгруппой второго.

А с алгоритмической точки зрения, как это проще всего проверить? Или же как ни крути нужно в лоб проверять соотношение групп Галуа?

[Руст]

С алгоритмической точки зрения особых упрощений вряд ли удастся достичь. Возможно есть алгоритмы в теории групп, которые позволяют не вычисляя полностью одну из них (по своим образующим и соотношениям) проверяют сразу не является ли вторая факторгруппой.
В этом случае, по видимому необходимым условием является, чтобы степень одного полинома являлся степенью другого, возможно необходимым и достаточным условием является существование многочлена $r(x)$, что $f(x)=r(g(x))$.