Площадь фигуры

[Xoma]

Помогите пожалуйста с примером
Найти площадь фигуры ограниченной кривой
$(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})^2=\frac{xy}{c^2} $
a,b,c>0
Вот вводим полярные координаты (нужно ли их вообще вводить??)
$x=a*r*cos^\alpha(\varphi)$
$y=b*r*sin^\alpha(\varphi)$
$I=(\alpha)a*b*r*cos^(\alpha-1)(\varphi)*sin^(\alpha-1)(\varphi)$ Якобиан
Никак не пойму какие границы у фи и r ?
я думаю это надо анализировать уравнения x и y
а какие значения могут принимать x и y?Как определить НЕ РИСУЯ графики?

[paha]

а само уравнение в полярных координатах-то записать бы неплохо:)

[Xoma]

Всмысле? написать обьём через полярные координаты?

[Xoma]

Всмысле? написать обьём через полярные координаты?

-- Чт дек 09, 2010 14:40:50 --

Я просто не понимаю как раставиь границы
можете объяснить?пожалуйста

[Sonic86]

Xoma писал(а):

Как определить НЕ РИСУЯ графики?

Определить можно чисто аналитически не рисуя графики - ограничения на $\varphi$ и $\rho$ получаются либо из ограничений на $x,y$, либо усматриваются непосредственно из уравнения кривой или поверхности. Кроме того, для полярных координат существуют изначальные ограничения, которые надо брать в случаях отсутствия ограничений.
Вы хотя бы выпишите уравнение кривой в полярных координатах и попытки найти границы!

-- Чт дек 09, 2010 16:45:32 --

Xoma писал(а):

Я просто не понимаю как раставиь границы
можете объяснить?пожалуйста

Ответьте тогда хотя бы на этот вопрос:

Sonic86 писал(а):

Кроме того, для полярных координат существуют изначальные ограничения, которые надо брать в случаях отсутствия ограничений.

Какие это ограничения?

[Xoma]

r>=0 про угол в Демидовиче ничего не написанно

-- Чт дек 09, 2010 14:50:32 --

я вот не понимаю из данного уравнения ограничения на x,y я вижу только
что они не могут быть равны нулю по отдельности и оба должны быть больше или меньше нуля
больше я ничего не вижу
Это все ограничения? и как ими потом воспользоваться ?

-- Чт дек 09, 2010 14:55:54 --

Извиняюсь там a в квадрате вместо y

[Sonic86]

Xoma писал(а):

про угол в Демидовиче ничего не написанно

безобразие! Что такое полярные координаты?

Xoma писал(а):

из данного уравнения ограничения на x,y я вижу только
что они не могут быть равны нулю по отдельности и оба должны быть больше или меньше нуля

Вот! Это уже оно! (возможно нужно еще что-то, я пока не подумал ) Запишите аналитически.

Xoma писал(а):

и как ими потом воспользоваться ?

Просто. Берете ограничение, подставляете туда $x=x(\rho, \varphi), y=y(\rho, \varphi)$ - получаете ограничение от $\rho, \varphi$, упрощаете и все.

[Xoma]

Т.е $\rho$ будет от 0 до беск ?
а фи от нуля до пи вторых?

-- Чт дек 09, 2010 15:03:35 --

и ещё каким значением взять $\alpha$?
как вообще определить какое лутше всего взять?

[Sonic86]

Xoma писал(а):

Т.е $\rho$ будет от 0 до беск ?

Про $\rho$ я ничего не говорил.
Подумайте по аналогии: Вам дают фигуру, заданную уравнением границы, например $x^2+y^2=1$. Как Вы запишите ограничение на внутреннюю переменную интегрирования при вычислении площади? Использовали ли Вы какие-либо ограничения на переменные в этом случае? Если поняли как, то делайте аналогично и для полярных координат (при замене, очевидно, уравнение границы кривой переходит в уравнение границы кривой)

Xoma писал(а):

а фи от нуля до пи вторых?

Вы лучше напишите, как Вы это получили. Причем было 2 вопроса: какие ограничения в общем случае, и какие - в данном

Xoma писал(а):

и ещё каким значением взять $\alpha$?

А для чего Вы его взяли? Оно Вам чем-то поможет? (мне кажется не поможет, так что берите простой случай).

Xoma писал(а):

как вообще определить какое лутше всего взять?

лучше его брать таким, чтобы получались штуки вида $r^2 (\cos ^2 \varphi + \sin ^2 \varphi)$. Полярные координаты, в основном, для этого и используются при интегрировании - чтобы упростить исходный вид задания области.

[Xoma]

ну у круга понятно x максимально может быть равен 1 при y =0
а там вообще непонятно что?
Можете просто сказать куда что подставить? чтобы определить границы а дальше я сам

[paha]

paha в сообщении #385269 писал(а):

а само уравнение в полярных координатах-то записать бы неплохо:)

Напишите, наконец, уравнение Вашей кривой в полярных координатах, чтобы хоть предмет для разговора был

[Sonic86]

Xoma писал(а):

ну у круга понятно x максимально может быть равен 1 при y =0

неправильно! Запишите интеграл $\iint\limits_{D}dxdy$ для $D: x^2+y^2=1$ через повторные.

Xoma писал(а):

Можете просто сказать куда что подставить? чтобы определить границы а дальше я сам

нет, не могу. Правила запрещают, да и неохота. А алгоритм действия я Вам изложил Выше:

Sonic86 писал(а):

Просто. Берете ограничение, подставляете туда $x=x(\rho, \varphi), y=y(\rho, \varphi)$ - получаете ограничение от $\rho, \varphi$, упрощаете и все.

уравнение кривой - тоже ограничение, можете считать.

[ИСН]

Xoma, нарисуйте график и не выэтосамое. Сразу станет понятно. А то какие-то нелепые...

-- Чт, 2010-12-09, 16:03 --

ах да, и если от Вас кто-то требует сделать без графика - потом сотрите его.

[Sonic86]

(Оффтоп)

ИСН писал(а):

Xoma, нарисуйте график и не выэтосамое.

я не преподаватель, но я бы предпочел человека научить находить пределы аналитически в простых случаях. А то одни и те же вопросы много раз.
Или давайте его тогда учить графики рисовать...

[ИСН]

(Оффтоп)

а можно подумать, я преподаватель? тоже нет.
а что одни и те же много раз, дак мне не жалко. вопрос-ответ, вопрос-ответ.
все через это прошли.
все как-то научились.