Колмогоров. Геометрия

[ewert]

--mS-- в сообщении #384640 писал(а):

Треугольник (Погорелов) - фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Вот. И обратите внимание -- элементами треугольника являются вовсе не точки, лежащие на отрезке, а сами отрезки. Т.е. если это даже и множество (что не совсем верно), то вовсе не множество точек.

--mS-- в сообщении #384640 писал(а):

Фигуры в любой геометрии - это множества точек прямой/плоскости/пространства (даже если слово "множество" не упоминается), никаких классов эквивалентности и близко нет, да и быть не может,

Это не ответ. В конце концов, вектор ровно с тем же успехом может быть обозван множеством. Ровно с тем же -- и даже бОльшим, т.к. группа преобразований, порождающая "равенство" векторов, существенно более узкая.

--mS-- в сообщении #384640 писал(а):

Присоединяюсь к вопросу :)

Это я несколько лет назад вдруг с удивлением обнаружил, что не знаю общепринятого ответа на этот вопрос.

С моей точки зрения, причина только в том, что понятия перпендикулярности и параллельности не применимы к нулевым векторам. Есть ещё одна, сугубо формальная: дескать, эти понятия изначально определены только для прямых и отрезков, а векторы (формально) -- это ни то, ни другое; но эта причина мне кажется несерьёзной.

[--mS--]

caxap в сообщении #384707 писал(а):

Ведь и так понятно, что отрезок $AB$ в смысле множества точек и длина отрезка $AB$ -- разные понятия.

Если это "и так понятно", то откуда массовое неразличение этих понятий вчерашними школьниками? И если это "понятно", то почему не завести два разных обозначения - для отрезка и для длины отрезка? Зачем разные вещи (даже разной природы) обозначать одинаково?

ewert в сообщении #384721 писал(а):

--mS-- в сообщении #384640 писал(а):

Треугольник (Погорелов) - фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Вот. И обратите внимание -- элементами треугольника являются вовсе не точки, лежащие на отрезке, а сами отрезки. Т.е. если это даже и множество (что не совсем верно), то вовсе не множество точек.

Хотите учебник Погорелова совсем с грязью смешать? В такой ереси его тоже обвиняли: типа проводим медиану, сколько получаем треугольников? Два? Ничего подобного, отрезков не хватит Нет, это лучше Вы обратите внимание: "всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек" (тот же источник), самое начало учебника. Даже если отрезки, Вашему тезису "фигура тоже есть класс эквивалентности" это всё равно противопоказано. Уже не говоря о том, что два треугольника ("равных", "конгруэнтных", каких угодно) рядом - это два треугольника или один (всё же они в одном классе эквивалентности)?

Впрочем, я считаю, что на вопрос ТС мы ответили исчерпывающе, а спорить о том, какой учебник геометрии круче, у меня не достаточно знаний.

[caxap]

--mS-- в сообщении #384809 писал(а):

Зачем разные вещи (даже разной природы) обозначать одинаково?

Не согласен. Если для каждой вещи вводить новое обозначение, получиться каша. Вы же не хотите (надеюсь) обозначать сумму чисел, векторов, линейных подпространств... разными знаками? Так почему здесь хотите? (Кстати, обозначение $|\cdot |$ тоже уже занято (как минимум за тремя вещами).)

-- 07 дек 2010, 23:13 --

--mS-- в сообщении #384809 писал(а):

Если это "и так понятно", то откуда массовое неразличение этих понятий вчерашними школьниками?

М... если честно, не встречал ни одного человека, который бы путал "отрезок" с "длиной отрезка". Школьник говорит "отрезок $AB$ пересекает $CD$" и сразу ясно, что он говорит о множествах. Говорит "$AB=5$" -- о длине отрезка. А фразы типа "отрезок $AB$ равен отрезку $CD$" не более чем вольность речи (и уверен, что большинство школьников это понимают).

[Mathusic]

caxap в сообщении #384820 писал(а):

А фразы типа "отрезок $AB$ равен отрезку $CD$" не более чем вольность речи (и уверен, что большинство школьников это понимают).

Да даже не вольность речи. Это понимается скорее всего как "Отрезки равны, если их можно совместить наложением" (точнее - может пониматься и так).

[--mS--]

caxap в сообщении #384820 писал(а):

--mS-- в сообщении #384809 писал(а):

Зачем разные вещи (даже разной природы) обозначать одинаково?

Не согласен. Если для каждой вещи вводить новое обозначение, получиться каша. Вы же не хотите (надеюсь) обозначать сумму чисел, векторов, линейных подпространств... разными знаками? Так почему здесь хотите? (Кстати, обозначение $|\cdot |$ тоже уже занято (как минимум за тремя вещами).)

Да не соглашайтесь, пожалуйста. Вот только при любом обращении к математике придётся придерживаться принятых в ней обозначений хотя бы для того, чтобы Вас понимали. Обозначать по-разному сумму - нет, не хочу. Она и так уже имеет обозначение, причём одно. Знаком "$ + $" (или "$\Sigma $") обозначается. А вот умножение по-другому обозначается, это Вас не смущает?

caxap в сообщении #384820 писал(а):

М... если честно, не встречал ни одного человека, который бы путал "отрезок" с "длиной отрезка".

Я тоже не видела пингвинов, однако они есть.

[Александр Т.]

caxap в сообщении #384820 писал(а):

--mS-- в сообщении #384809 писал(а):

Зачем разные вещи (даже разной природы) обозначать одинаково?

Не согласен. Если для каждой вещи вводить новое обозначение, получиться каша.

А ааааа ааа аааааа ааааа (ааа аа аааа?) ааааааа ааааа ааааааааааа?

(Оффтоп)

А зачем для каждой буквы (чем не вещь?) вводить новое обозначение?

[igor144]

А где можно скачать учебник Колмогорова за 6 класс? Я встречал издания учебника за 6-8 классы в одной книге, и отдельными книгами за 7 класс и за 8 класс, но отдельной книги за 6 класс нигде найти не могу. Создалось впечатление, что в отдельных книгах изложение предмета более полное.

[warlock66613]

Lister в сообщении #384536 писал(а):

Колмогоров вообще к определениям относился с большим вниманием. Например, категорически не любил понятие "равных" фигур (в том смысле, в котором его сейчас в школе используют), предпочитая определять их исключительно как "конгруэнтные". В качестве аргумента рисовал на доске два конгруэнтных треугольника $A$ и $B$ и говорил: "Ну как же эти фигуры могут быть равны? Если бы они были именно равны, то мы имели бы $A \cap B = A =B,$ здесь же это, очевидно, не так, ибо пересечение пусто."

Теоретико-множественная модель евклидовой геометрии - это только одна из возможных моделей. Поэтому говорить, что фигуры не равны потому что не равны изображающие их множества, - неправильно. Фигуры равны в смысле равенства фигур и неравны в смысле равенства множеств - тут нет никакого противоречия. А учитывая как часто нам нужно равенство фигур и как редко - равенство фигур как множеств, удобно именно за первым закрепить термин "равенство" без уточнения.