Решение уравнения методами группового анализа

[Aliara]

Доброе время суток. Помогите, пожалуйста, с решением дифференциального уравнения методами группового анализа. надо найти и выписать все операторы, допускаемые уравнением
Уравнение имеет вид
$y(2xy''+y')=xy'^2+1$

Я выделила из него вторую производную:
$y''=\frac {(y')^2}{2y} +\frac {1}{2xy} -\frac {y'}{2x}
Далее записала
$\eta_{xx}+(2\eta_{xy}-\xi_{xx})y'+(\eta_{yy}-2\xi_{xy})y'^2-\xi_{yy}y'^3+(\eta_{y}-2\xi_x-3\xi_yy')(\frac {(y')^2}{2y} +\frac {1}{2xy} -\frac {y'}{2x})=$
$=(\eta_x+(\eta_y-\xi_x)y'-\xi_yy'^2)(\frac {2y'}{2y} -\frac {1}{2x})+\eta(-\frac {y'^2}{2y^2} -\frac {1}{2xy^2})+\xi(-\frac {1}{2x^2y} +\frac {y'}{2x^2})$
И стала собирать по степеням производной $y$
$y'^3$:
$-\xi_{yy}-\frac{3\xi_y}{2y}=-\frac{2\xi_y}{2y}$
Откуда получила
$\frac{\xi_{yy}}{\xi_y}=-\frac {1}{2y} $
Откуда получается, что $\xi_y=\frac{a(x)} {\sqrt{y}}$
Значит, $\xi=2a(x)\sqrt{y}+b(x)$
Затем собираю по квадрату производной:
$\eta_{yy}-2\xi_{xy}+\frac{\eta_{y}}{2y}-\frac{2\xi_x}{2y}+\frac{3\xi_y}{2x}=\frac{\eta_y}{y}-\frac{\xi_x}{y}+\frac{\xi_y}{2x}-\frac{\eta}{2y^2}$
Вычислив $\xi_{xy} и \xi_{y}$, получаю:
$\eta_{yy}-2\frac{a'}{\sqrt{y}}+\frac{\eta_{y}}{2y}-\frac{2\xi_x}{2y}+\frac{3\xi_y}{2x}=\frac{\eta_y}{y}-\frac{\xi_x}{y}+\frac{a}{2x\sqrt{y}}-\frac{\eta}{2y^2}$
Домножила на $y^2$:
$y^2\eta_{yy}+y\frac{\eta_{y}}{2}+\frac{\eta}{2}-ay\sqrt{y}-2y\sqrt{y}a'=0$
Полученное уравнение очень похоже на уравнение Эйлера. Но вот неоднородность у него по двум переменным, а как с таким бороться, я, честно говоря, и не знаю.
Может я где-то ошибку допустила?