Преследование на Плоскости

[wizzzi]

Подскажите, пожалуйста, как должны вести себя преследователи в следующей ситуации:
Один убегающий окружен N преследователями. Скорости убегающего и преследователя равны. Преследователи образуют выпуклый многоугольник.

[worm2]

Интересная задачка. Подозреваю, что преследователи в первую очередь не должны допускать выбега преследуемого за пределы образуемой ими выпуклости. Есть ещё кое-какие соображения, однако... откуда Вы взяли эту задачу?

[wizzzi]

Понятно, что убегающий не должен выйти за границу многоугольника. Но знаю точно что убегающий не сможет этого сделать, это было доказано, но я нашел только формулировку, а самого доказательства нет.

-- Вт дек 07, 2010 12:47:20 --

А формулировка теоремы есть в Петросян "Преследование на плоскости".

[ИСН]

Выйти за границу плоскости - это сильно.

[Николай]

Пришла в голову следующая стратегия преследователей

(Оффтоп)

прошу сильно не бить, я просто фантазирую

В каждый момент времени беглец движется вдоль вектора своей скорости. Преследователи могут предположить, что беглец и в дальнейшем не будет менять направления (т.е. будет двигаться прямо) и выбрать направление своего движения так, чтобы встретиться с беглецом. При каждой смене направления беглеца преследователи тоже будут корректировать своё направление.

Ну, если такой точки встречи нет, остаётся только двигаться на беглеца (а может этого и достаточно?).

Надо подумать

[worm2]

wizzzi в сообщении #384568 писал(а):

убегающий не должен выйти за границу многоугольника. Но знаю точно что убегающий не сможет этого сделать, это было доказано, но я нашел только формулировку, а самого доказательства нет

Доказательство тривиально: чтобы не выпустить беглеца за границу, преследователям достаточно двигаться параллельно ему. Правда, при такой стратегии шансов поймать его немного Надо как-то сжимать кольцо. Можно попробовать как-то так: для каждого преследователя наметить мгновенное направление до беглеца и потихонечку прибавлять к движению параллельным курсом этот вектор, умноженный на "достаточно малое" число $\varepsilon$, чтобы не выпустить за флажки. Но конкретные детали от меня в данный момент ускользают.

Можно наметить мгновенное направление не до беглеца, а до центра тяжести, причём в каждый момент координировать это $\varepsilon$ для всех преследователей таким образом, чтобы конфигурация преследуемых и преследователя оставалась подобной самой себе в первоначальный момент времени (т.е. в какой-то системе координат было бы просто сжатие исходного изображения, гомотетия). Такая стратегия не самая оптимальная, но, вероятно, для неё будет проще доказать, что беглец будет настигнут за конечное время.