Колмогоров. Геометрия

[caxap]

Наткнулся на учебник геометрии Колмогорова. Почему-то он пишет то отрезок $AB$, то $[AB]$, $|AB|$. С углами: то $\angle ABC$, то $\widehat{ABC}$. Я что-то не уловил логики, зачем так много обозначений?

[--mS--]

caxap в сообщении #383584 писал(а):

Наткнулся на учебник геометрии Колмогорова. Почему-то он пишет то отрезок $AB$, то $[AB]$, $|AB|$. С углами: то $\angle ABC$, то $\widehat{ABC}$. Я что-то не уловил логики, зачем так много обозначений?

Как минимум, для того, чтобы отличать отрезок (множество точек) от его длины (числа) $|AB|$, угол $\angle ABC$ от его величины $\widehat{ABC}$ (число). Это то, что катастрофически не различают современные школьники.

[caxap]

А... Ясно. А что такое $[AB]$?

--mS-- в сообщении #383618 писал(а):

Это то, что катастрофически не различают современные школьники.

А почему тогда только в учебнике Колмогорова так? Я, например, учился по Атанасяну. Он новее Колмогорова, но там отрезок и его величина, угол и его величина обозначаются одинаково. Сейчас посмотрел Погорелова -- там тоже.

[--mS--]

caxap в сообщении #383621 писал(а):

А... Ясно. А что такое $[AB]$?

Вы же сами написали выше: "отрезок $AB$".

caxap в сообщении #383621 писал(а):

А почему тогда только в учебнике Колмогорова так? Я, например, учился по Атанасяну. Он новее Колмогорова, но там отрезок и его величина, угол и его величина обозначаются одинаково. Сейчас посмотрел Погорелова -- там тоже.

Этот вопрос следует адресовать авторам учебников. Последствия такого смешения понятий расхлебывать приходится вузовским преподавателям (например, мне), и долго. Студенты путают множество и число элементов в нём, отрезок и его длину, множество точек под графиком функции и его площадь и т.д.

[EtCetera]

caxap

caxap в сообщении #383621 писал(а):

А что такое $[AB]$?

Если я не ошибаюсь, Колмогоров был идеологом проведения в обозначения геометрических понятий подхода, основанного на множествах.
Т.е. отрезок обозначается $[AB]$, ср. с $[2;5]$.
Луч $\text{---}$ $[AB)$, ср. с $[2;+\infty)$.
Прямая $\text{---}$ $(AB)$, ср. с $(-\infty;+\infty)$.

[caxap]

EtCetera
Ясно.

(Оффтоп)

EtCetera в сообщении #383750 писал(а):

Луч $[A,B)$, ср. с . $[2;\+\infty)$

По-моему, $[AB)$ больше подходит для $[AB]\setminus\{B\}$.

Интересно, почему это не прижилось?

[paha]

caxap в сообщении #383621 писал(а):

А... Ясно. А что такое $[AB]$?

мне кажется, что это множество точек данного отрезка

[caxap]

paha в сообщении #383821 писал(а):

мне кажется, что это множество точек данного отрезка

Ну так это отрезок и есть.

[ewert]

caxap в сообщении #383761 писал(а):

Интересно, почему это не прижилось?

Наверное, из-за избыточной абстрактности. Школьная геометрия нужна всем, даже и тем, для которых отрезок -- это просто отрезок, а не какое-то там множество.

[Lister]

Колмогоров вообще к определениям относился с большим вниманием. Например, категорически не любил понятие "равных" фигур (в том смысле, в котором его сейчас в школе используют), предпочитая определять их исключительно как "конгруэнтные". В качестве аргумента рисовал на доске два конгруэнтных треугольника $A$ и $B$ и говорил: "Ну как же эти фигуры могут быть равны? Если бы они были именно равны, то мы имели бы $A \cap B = A =B,$ здесь же это, очевидно, не так, ибо пересечение пусто."

[ewert]

Интересно, а векторы Колмогоров тоже называл "конгруэнтными"?... (на том же основании)

[--mS--]

ewert в сообщении #384582 писал(а):

Интересно, а векторы Колмогоров тоже называл "конгруэнтными"?... (на том же основании)

Нет, вектора назывались совпадающими, равными, одинаковыми - не было специального термина. И именно на этом основании, поскольку вектор определялся не то как "параллельный перенос", не то как "класс эквивалентности направленных отрезков". А не как "отрезок со стрелочкой". Не уверена сейчас, какое из этих определений было в геометрии Колмогорова, по которой мы учились, но твёрдо помню, что на вступительном экзамене по "математике устно" сообщила экзаменатору оба :) Тут мне и пришлось выучить истину: язык мой - враг мой :).

[ewert]

--mS-- в сообщении #384601 писал(а):

Нет, вектора назывались совпадающими, равными, одинаковыми - не было специального термина. И именно на этом основании, поскольку вектор определялся не то как "параллельный перенос", не то как "класс эквивалентности направленных отрезков". А не как "отрезок со стрелочкой".

Но и фигуры в обычном понимании -- это вовсе не сами множества, а некии их классы эквивалентности. Так что аналогия -- полная.

--mS-- в сообщении #384601 писал(а):

твёрдо помню, что на вступительном экзамене по "математике устно" сообщила экзаменатору оба :) Тут мне и пришлось выучить истину: язык мой - враг мой :).

Не очень понятно почему: фактически ведь это одно и то же, просто второе более формализовано.

--------------------------------------------------------------
Кстати, родственный вопрос: почему векторы называют ортогональными, а не перпендикулярными?... и коллинеарными, а не параллельными?... (насчёт компланарности вопроса нет -- там всё ясно)

[--mS--]

ewert в сообщении #384603 писал(а):

Но и фигуры в обычном понимании -- это вовсе не сами множества, а некии их классы эквивалентности. Так что аналогия -- полная.

Нет, конечно. Фигуры в любой геометрии - это множества точек прямой/плоскости/пространства (даже если слово "множество" не упоминается), никаких классов эквивалентности и близко нет, да и быть не может, иначе рушится вся система терминов: о какой принадлежности точки прямой, вершин - треугольнику и т.п. можно говорить, если всё это - классы эквивалентности? Треугольник (Погорелов) - фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

ewert в сообщении #384603 писал(а):

Не очень понятно почему: фактически ведь это одно и то же, просто второе более формализовано.

Вот и пришлось доказывать эквивалентность двух определений :)

ewert в сообщении #384603 писал(а):

Кстати, родственный вопрос: почему векторы называют ортогональными, а не перпендикулярными?... и коллинеарными, а не параллельными?... (насчёт компланарности вопроса нет -- там всё ясно)

Присоединяюсь к вопросу :)

[caxap]

Строгость строгостью, но зачем нужны громоздкие обозначения для элементарных вещей?! Ведь и так понятно, что отрезок $AB$ в смысле множества точек и длина отрезка $AB$ -- разные понятия. И что "треугольники равны" значит, что то и только то, что они совмещаются движением. Погорелов, Атанасян и все другие тоже так считают, но просто не жертвуют удобством и краткостью обозначений. Ведь можно же считать $AB:=[AB]$, $AB:=|AB|$, $\triangle ABC=\triangle EFG :\iff \triangle ABC\cong\triangle EFG$ с подстановкой смысла из контекста и т. д. Тут как в языках программирования -- синтаксический сахар и перегрузка обозначений существенно упрощает процесс программирования. В конце концов, всякие $+$ в математике и так уже давно "перегружены": и сумма чисел (разных), и сумма векторов, и объединение непересекающихся множеств, и сумма линейных подпространств и т. д. Ведь обозначения сами по себе мало чего стоят без контекста, так чего же зря строжничать?