Спектр и длительность сигнала.

[Karabas]

Вычислить спектр сигнала $\xi(t)=a\frac{t}{t_0}\exp\left(-\frac{\pi t^2}{t_0^2}\right)$ и найти длительность сигнала и ширину спектра.
$\\S(w)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}a\frac{t}{t_0}\exp\left(-\frac{\pi t^2}{t_0^2}\right)\exp(-i\omega t)dt=\frac{a}{2\pi t_0}\exp\left(-\frac{\omega^2 t_0^2}{4\pi}\right)\int\limits_{-\infty}^{+\infty}t\exp(-\left(\frac{\sqrt{\pi}t}{t_0}+\frac{i\omega t_0}{2\sqrt{\pi}}\right)^2)dt= \\ =\frac{a}{2\pi \sqrt{\pi}}\exp\left(-\frac{\omega^2 t_0^2}{4\pi}\right)\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \left(\frac{zt_0}{\sqrt{\pi}}-\frac{i\omega t_0^2}{2\pi}\right)\exp(-z^2)dz=-\frac{i\omega a t_0^2}{4\pi^2}\exp\left(-\frac{\omega^2 t_0^2}{4\pi}\right)$
Тогда полная энергия $W$ равна
$\\W=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}|\xi(t)|^2dt =\frac{a^2}{t_0^2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}t^2\exp\left(-\frac{2\pi t^2}{t_0^2}\right)dt=\frac{a^2 t_0}{2\pi \sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}z^2\exp(-z^2)dz\\W=\frac{a^2 t_0}{4\pi \sqrt{2}}$
Длительность импульса $\Delta t_W$ и ширина $\Delta \omega_W$ спектра определяются как
$\\ \int\limits_{-\Delta t_W/2}^{+\Delta t_W/2}|\xi(t)|^2dt=\varepsilon W \\ \int\limits_{-\Delta \omega_W}^{+\Delta \omega_W}G(\omega)d\omega=\varepsilon W$
возьмем $\varepsilon=0.9$
Значит
$\\ \frac{a^2}{t_0^2}\int\limits_{-\Delta t_W/2}^{+\Delta t_W/2}t^2\exp\left(-\frac{2\pi t^2}{t_0^2}\right)dt=0.9\frac{a^2 t_0}{4\pi \sqrt{2}}\\ \frac{a^2 t_0}{2\pi \sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\frac{\Delta t_\omega \sqrt{\pi}}{\sqrt{2} t_0}}^{+\frac{\Delta t_\omega \sqrt{\pi}}{\sqrt{2} t_0}}z^2\exp(-z^2)dz=0.9\frac{a^2 t_0}{4\pi \sqrt{2}}\\ \int\limits_{-\frac{\Delta t_\omega \sqrt{\pi}}{\sqrt{2} t_0}}^{+\frac{\Delta t_\omega \sqrt{\pi}}{\sqrt{2} t_0}}z^2\exp(-z^2) dz=0.9\frac{\sqrt{\pi}}{2}$
Данный интеграл сводится к интегралу Эйлера-Пуассона и к нему нельзя найти первообразную.Поэтому точно найти $\Delta t_W$ и $\Delta \omega_W$ нельзя,если я правильно понимаю.Тогда что делать в данном случае?Прошу помощи.

[Himfizik]

Вчитывался в ваше сообщение... Возник вопрос, почему бы не использовать свойство "Гаусс-пакета"... Ведь из самого же вида гауссиана можно методом пристального вглядывания определить, что $\delta t=t_0/(2 \sqrt{\pi})$, а $\delta \omega =\sqrt{\pi}/t_0$...вроде так, если вы правильно посчитали Фурье, конечно...
Можно было также воспользоваться соотношением неопределенностей: $\delta \omega \delta t = 1/2$...

[Karabas]

Himfizik в сообщении #383812 писал(а):

Вчитывался в ваше сообщение... Возник вопрос, почему бы не использовать свойство "Гаусс-пакета"... Ведь из самого же вида гауссиана можно методом пристального вглядывания определить, что $\delta t=t_0/(2 \sqrt{\pi})$, а $\delta \omega =\sqrt{\pi}/t_0$...вроде так, если вы правильно посчитали Фурье, конечно...
Можно было также воспользоваться соотношением неопределенностей: $\delta \omega \delta t = 1/2$...

Что такое $\delta \omega$ и $\delta t$ ?Это то,что я обозначал как $\Delta t_W$ и $\Delta t_\omega$? Они ведь должны зависеть от $\varepsilon$,или я что-то не понимаю.Тогда объясните пожалуйста.

[Himfizik]

Да, надо договориться до общего языка... Под своими дельтами я понимал размазку вашего сигнала в пространстве времени (среднеквадратическое отклонение от среднего) и размазку по частотам (ср.кв.откл.) фурье-образа этого сигнала... Мне же не понятно, что есть $\epsilon$?

[Karabas]

Himfizik в сообщении #383902 писал(а):

Да, надо договориться до общего языка... Под своими дельтами я понимал размазку вашего сигнала в пространстве времени (среднеквадратическое отклонение от среднего) и размазку по частотам (ср.кв.откл.) фурье-образа этого сигнала... Мне же не понятно, что есть $\epsilon$?

Длительность импульса $\Delta t_W$ это время за которое проходит заданная часть $\varepsilon$ энергии импульса.
Ширина спектра $\Delta t_\omega$ это полоса частот в которой содержится заданная часть $\varepsilon$ энергии импульса

[Himfizik]

Мне кажется, что в задаче просят найти именно дельты, возникающие в связи с разбросом от центра пакета по частотам и временам, тогда ответ угадывается из вида Гаусса (и его фурье-образа). С вашим определением не сталкивался ни разу в расчетах. Возможно, задавшись таким "эпсилон", решить придется не точно... Математ. выкладки я тщательно не смотрел, с виду похоже на правду... И все-таки обычно в таких задачах, на сколько я помню, интересуются как раз дельтами, о которых я вам говорил (ср.кв.откл.)... и вид у сигнала знакомый, что грех не воспользоваться его свойствами...