Сепарабельное пространство с несепараб. подпространством

[Padawan]

Привести пример такого топологического пространства.

[M214]

Сепарабельное пространство - R, его несепарабельное подпространство - Z.

[RIP]

$\mathbb{Z}$ сепарабельно(оно же счётно). Вообще, примера с метрическими пространствами нельзя построить(очевидно). Насчёт топологических не знаю.

[Macavity]

Пример для топологического можно найти в Б.Гельбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе.

Один из приведенных там примеров (стр. 203) -
Пространство действительных чисел, порожденное базисом - окрестности точек, длина окрестности - рациональное число. Множество рациональных чисел всюду плотно в этом пространстве.

Если же отбросить рациональные точки и рассмотреть получившееся пространство с дискретной топологией, то в нем не существует счетного всюду плотного множества.

[Padawan]

Это же обычная топология прямой!

[Macavity]

Padawan писал(а):

Это же обычная топология прямой!

Ну что же если не любите прямых , то там же http://www.vilenin.narod.ru/Mm/Books/4/book.htm найдете пример с плоскостью.

[Руст]

Можно просто взять счётное подмножество A в несчётном множестве Х и определить топологию, объявив открытыми любые подмножества, содержащие подмножество А, за исключением конечного числа её членов. Тогда А всюду плотно и дополнение имеет дискретную топологию.

[Padawan]

Можно еще проще - в несчётном множестве объявить открытыми пустое множества и все подмножества, содержащие фиксированную точку. Эта точка образует плотное одноточечное подмножество

[Руст]

Ваш случай не удовлетворяет даже первой аксиоме отделимости. У меня отделима по этой аксиоме, правда не хаусдорфова.

[Someone]

Это очень старый пример, принадлежит, кажется, П.С.Александрову, но точно не помню.

Пусть $X=[0,1)$ - полуинтервал с топологией стрелки: базу топологии в точке $x_0\in X$ образуют полуинтервалы вида $[x_0,x_0+\varepsilon)$, где $0<\varepsilon<1-x_0$. Это - нормальное (и финально компактное) пространство с первой аксиомой счётности, но не метризуемое, так как оно сепарабельно (множество рациональных точек всюду плотно) и не имеет счётной базы.
Рассмотрим пространство $Y=X\times X$. Это пространство сепарабельно (множество точек, у которых обе координаты рациональны, всюду плотно), вполне регулярно, но не нормально (доказательство довольно хлопотно; неотделимыми являются замкнутые множества $F_1=\{(t,1-t):t\in(0,1)\text{ рационально}\}$ и $F_2=\{(t,1-t):t\in(0,1)\text{ иррационально}\}$). Множество $F=\{(t,1-t):t\in(0,1)\}$ дискретно, так как открытое множество вида $[t,t+\varepsilon)\times[1-t,1-t+\varepsilon)$, где $t\in(0,1)$, $0<\varepsilon<\min\{t,1-t\}$, пересекается с множеством $F$ только в одной точке $(t,1-t)$. Так как $F$ несчётно и дискретно, оно является несепарабельным подпространством.

[Руст]

Всвязи с замечанием Rip а, о невозможности придумать пример метризуемого пространства, интересен вопрос, существует ли хаусдорфова, регулярное, ... пространство с указанным свойством.

[Someone]

Руст писал(а):

Всвязи с замечанием Rip а, о невозможности придумать пример метризуемого пространства, интересен вопрос, существует ли хаусдорфова, регулярное, ... пространство с указанным свойством.

Иерархия аксиом отделимости следующая:

$T_0$ - для любых двух различных точек существует окрестность одной из них, не содержащая другой точки;
$T_1$ - для любых двух различных точек существует окрестность каждой из них, не содержащая другой точки;
$T_2$ (хаусдорфово пространство) - для любых двух различных точек существуют непересекающиеся окрестности;
$T_3$ - для любой точки и любого не содержащего её замкнутого множества существуют непересекающиеся окрестности;
регулярное пространство - одновременно $T_1$ и $T_3$;
$T_{3\frac 12}$ - для любой точки и любого не содержащего её замкнутого множества существует разделяющая их непрерывная функция (которая равна 0 в заданной точке и 1 на заданном множестве);
вполне регулярное пространство - одновременно $T_1$ и $T_{3\frac 12}$;
$T_4$ - для любых двух непересекающихся замкнутых множеств существуют непересекающиеся окрестности;
нормальное пространство - одновременно $T_1$ и $T_4$.

Нормальное $\Rightarrow$ вполне регулярное $\Rightarrow$ регулярное $\Rightarrow$ хаусдорфово $\Rightarrow$ $T_1$ $\Rightarrow$ $T_0$.

В разной литературе могут встречаться немного различные толкования этих терминов.

То пространство $Y$, которое я выше показал - вполне регулярное, но можно сделать и нормальное: просто вложить его в бикомпакт.

[finanzmaster]

А в $\mathbb{Q}$ есть подмножество, замыкание которого будет само $\mathbb{Q}$, а не $\mathbb{R}$ (ну или какое-то подмножество $\mathbb{R}$, содержащее хотя бы одну иррациональную точку)?

Если нет, то тогда ведь $\mathbb{Q}$ несепарабельно, т.к. не содержит всюду плотного счетного множества.

[Someone]

finanzmaster писал(а):

А в $\mathbb{Q}$ есть подмножество, замыкание которого будет само $\mathbb{Q}$, а не $\mathbb{R}$ (ну или какое-то подмножество $\mathbb{R}$, содержащее хотя бы одну иррациональную точку)?

Если нет, то тогда ведь $\mathbb{Q}$ несепарабельно, т.к. не содержит всюду плотного счетного множества.

Нет, Вы неправильно понимаете определение сепарабельного пространства. Если Вы говорите о сепарабельности пространства $\mathbb Q$, то Вы должны рассматривать его само по себе, а не как подмножество $\mathbb R$. Если же Вы рассматриваете $\mathbb Q$ как подмножество $\mathbb R$, то нужно иметь в виду, что замыкание нужно брать в $\mathbb Q$, а не в $\mathbb R$.

Для оператора замыкания выполняется следующее соотношение: если $A\subseteq X\subseteq Y$, то $[[A]_X]_Y=[A]_Y$.

Множество $A\subseteq\mathbb Q$ всюду плотно в $\mathbb Q$, если $[A]_{\mathbb Q}=\mathbb Q$. Поскольку, в свою очередь, $\mathbb Q$ всюду плотно в $\mathbb R$, то $[A]_{\mathbb R}=[[A]_{\mathbb Q}]_{\mathbb R}=[\mathbb Q]_{\mathbb R}=\mathbb R$.

Для доказательства сепарабельности $\mathbb Q$ мы должны найти такое счётное $A\subseteq\mathbb Q$, что $[A]_{\mathbb Q}=\mathbb Q$; поскольку $\mathbb Q$ счётно, то можно взять $A=\mathbb Q$. То, что $A$ всюду плотно и в $\mathbb R$, к сепарабельности $\mathbb Q$ отношения не имеет.